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2021年安徽省阜阳市姜郢中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知﹣2,a1,a2,﹣8成等差数列,﹣2,b1,b2,b3,﹣8成等比数列,则等于( )
A. B. C.﹣ D.或﹣
参考答案:
B
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2﹣a1、b2,则答案可求.
【解答】解:∵﹣2,a1,a2,﹣8成等差数列,
∴,
∵﹣2,b1,b2,b3,﹣8成等比数列,
∴,
∴.
故选:B.
2. 在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”意思是某人要走三百七八里的路程,第一天脚步轻快有力,走了一段路程,第二天脚痛,走的路程是第一天的一半,以后每天走的路程都是前一天的一半,走了六天才走完这段路程.则下列说法错误的是( )
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的
D.此人后三天共走了42里路
参考答案:
C
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】由题意可知,每天走的路程里数构成以为公比的等比数列,由S6=378求得首项,再由等比数列的通项公式求第二天的,第三天的,后三天的路程,即可得到答案.
【解答】解:记每天走的路程里数为{an},
由题意知{an}是公比的等比数列,
由S6=378,得=378,
解得:a1=192,
∴a2=a1q=192×=96,
此人第一天走的路程比后五天走的路程多192﹣(378﹣192)=6,
a3=a1q2=192×=48, =>
前3天周的路程为192+96+48=336,
则后3天走的路程为378﹣336=42,
故选:C.
【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用,属于中档题
3. 已知函数f(x)= ,且?x0∈[2,+∞)使得f(﹣x0)=f(x0),若对任意的x∈R,f(x)>b恒成立,则实数b的取值范围为( )
A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,0] C.(﹣∞,a) D.(﹣∞,a]
参考答案:
B
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】分别求出x≤0时,x>0时,函数f(x)的值域,再由?x0∈[2,+∞)使得f(﹣x0)=f(x0),即为+a=(x0﹣1)3+1有解,运用参数分离和构造函数,求出导数,判断符号,可得单调性,即可得到f(x)的值域,再由不等式恒成立思想,可得b的范围.
【解答】解:函数f(x)=,
当x≤0时,f(x)=+a≥a;
当x>0时,f(x)=(x﹣1)3+1递增,可得f(x)>0.
由?x0∈[2,+∞)使得f(﹣x0)=f(x0),
即为+a=(x0﹣1)3+1有解,
即为a=(x0﹣1)3+1﹣,
由y=(x0﹣1)3+1﹣,x0∈[2,+∞),
导数为3(x0﹣1)2﹣>0在x0∈[2,+∞)恒成立,
即为函数y在x0∈[2,+∞)递增,
即有a≥2﹣>0,
则函数f(x)的值域为(0,+∞).
由任意的x∈R,f(x)>b恒成立,
可得b≤0.
故选:B.
4. 设P为椭圆C: +=1(a>b>0)上的动点,F1、F2为椭圆C的焦点,I为△PF1F2的内心,则直线IF1和直线IF2的斜率之积( )
A.是定值 B.非定值,但存在最大值
C.非定值,但存在最小值 D.非定值,且不存在最值
参考答案:
A
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】连接PI并延长交x轴于G,再由内角平分线定理可得,,即,设P(x0,y0),I(xI,yI),G(xG,0),代入椭圆方程可求出,又,得,进一步求出,得xI=ex0,再求出,,化简直线IF1和直线IF2的斜率之积即可得答案.
【解答】解:如图,连接PI并延长交x轴于G,
则由内角平分线定理可得,,∴.
设P(x0,y0),I(xI,yI),G(xG,0).
则,∴.
∴,.
又,得.
∴,得xI=ex0.
∴,,
则==.
∴直线IF1和直线IF2的斜率之积是定值.
故选:A.
5. 函数在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是( )
A 12, B 42,12 C 42, D 最小值是,无最大值
参考答案:
C
略
6. 分别是双曲线的左、右焦点,是其右支上一点,若则的内切圆方程是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
7. 已知函数的定义域为导函数为,则满足的实数
的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 等于( )
A.0 B.2sin1 C.2cos1 D.2
参考答案:
D
【考点】定积分.
【专题】导数的综合应用.
【分析】找出被积函数的原函数,计算定积分.
【解答】解:=(x3+cosx)|=1+cos1+1﹣cos1=2;
故选D.
【点评】本题考查了定积分的计算;关键是正确找出被积函数的原函数.
9. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为﹣4时,则输入的S0的值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
参考答案:
D
考点: 程序框图.
专题: 算法和程序框图.
分析: 根据程序框图,知当i=4时,输出S,写出前三次循环得到输出的S,列出方程求出S0的值.
解答: 解:根据程序框图,知当i=4时,输出S,
∵第一次循环得到:S=S0﹣2,i=2;
第二次循环得到:S=S0﹣2﹣4,i=3;
第三次循环得到:S=S0﹣2﹣4﹣8,i=4;
∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4
解得S0=10
故选D.
点评: 本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题之列.
10. 设集合,,则MN=( )
A.{} B.{ }
C.{ } D.{ }
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合A={﹣2,0},B={﹣2,3},则A∪B= .
参考答案:
{﹣2,0,3}
【考点】并集及其运算.
【分析】利用并集定义直接求解.
【解答】解:∵集合A={﹣2,0},B={﹣2,3},
∴A∪B={﹣2,0,3}.
故答案为:{﹣2,0,3}.
【点评】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要 认真审题,注意并集定义的合理运用.
12. 函数的递增区间是______.
参考答案:
令,则函数在定义域上单调递减,由得,或,当时,单调递减,根据复合函数的单调性可知,此时函数单调递增,所以函数的递增区间为。
13. 将函数的图像向右平移个单位后,再作关于轴对称的曲线,得到函数的图像,则______________。
参考答案:
答案:
14. 已知,函数,若存在三个互不相等的实数,使得成立,则的取值范围是 .
参考答案:
15. 在总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的可能性为25%,则N的值为__________
参考答案:
120
16. 如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 .
参考答案:
【考点】余弦定理.
【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC,∠DAC=90°,得到∠BAC=∠BAD+90°,代入并利用诱导公式化简sin∠BAC,求出cos∠BAD的值,在三角形ABD中,由AB,AD及cos∠BAD的值,利用余弦定理即可求出BD的长.
【解答】解:∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,
∴sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=,
在△ABD中,AB=3,AD=3,
根据余弦定理得:BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD=18+9﹣24=3,
则BD=.
故答案为:
17. 已知a=e-2,b=em,且ab=1,则m= .
参考答案:
2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
有穷数列(n=1,2,3,…,n0, n0∈N*, n0≥2),满足,(n=1,2,3,…,n0-1),求证:
(Ⅰ)数列的通项公式为:,(n=2,3,…,n0);
(Ⅱ) +++…+.
参考答案:
解析:(Ⅰ)
……
相乘,即得:(n=2,3,…,n0)
(Ⅱ) 左边=·+++……+
<1+++……+
<1+++……+
=2-<2
19. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,.
(Ⅰ)写出直线的极坐标方程;
(Ⅱ)求直线与曲线交点的极坐标
参考答案:
见解析
考点:参数方程
解:(Ⅰ)将消去参数,化为普通方程
再将代入,得
(Ⅱ)联立直线与曲线的极坐标方程
因为,所以可解得或,
因此与交点的极坐标分别为,.
20. 已知函数,其中a,b∈R.
(1)当b=1时,g(x)=f(x)﹣x在处取得极值,求函数f(x)的单调区间;
(2)若a=0时,函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,
①求b的取值范围;
②求证:.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)由求导,由题意可知:g′()=0,即可求得a的值,根据函数与单调性的关系,即可求得函数f(x)的单调区间;
(2)①f(x)=lnx+bx(x>0),求导,分类,由导数与函数极值的关系,则f(x)极大值为,解得.且x→0时,f(x)<0,x→+∞时,f(x)<0.则当时,f(x)有两个零点;
②由题意可知:lnx1+bx1=0,lnx2+bx2=0,要证,即证lnx1+lnx2>2,则.则,构造辅助函数,求导,根根据函数的单调性,则h(t)>h(1)=0,则,即可证明.,
【解答】解:(1)由已知得,由g(x)=f(x)﹣x在处取得极值,则,
∴a=﹣2.
则f(x)=﹣x2+lnx+x(x>0).
则,
由f'(x)>0得0<x<1,由f'(x)<0得x>1.
∴f(x)的减区间为(1,+∞),增区间为(0,1).
(2)①由已知f(x)=lnx+bx(x>0).
∴,
当b≥0时,显然f'(x)>0恒成立,此时函数f(x)在定义域内递增,
f(x)至多有一个零点,不合题意.
当b<0时,令f'(x)=0得,
令f'(x)>0得;
令f'(x)<0得.
∴f(x)极大值为,解得.
且x→0时,f(x)<0,x→+∞时,f(x)<0.
∴当时,f(x)有两个零点.
②证明:∵x1,x2为函数f(x)的两个零点,不妨设0<x1<x2.
所以lnx1+bx1=0,lnx2+bx2=0,
两式相减得,两式相加得.
要证,即证lnx1+lnx2>2,
即证,即证.
令,即证.
令,则,
所以h(t)>h(1)=0,即,
所以,所以.
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