2022-2023学年浙江省宁波市余姚陆埠中学高一数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年浙江省宁波市余姚陆埠中学高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 要得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=cos（2x﹣）的图象（　　） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用左加右减的平移原则可对ABCD四个选项逐一排查，如A选项中=2x，即可得到答案． 【解答】解： =cos2x． =cos（2x﹣）； =﹣cos2x； =cos（2x+）； 可排除B、C、D； 故选A． 2. 等比数列的前n项和Sn=k?3n+1，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 参考答案： B 【考点】89：等比数列的前n项和． 【分析】利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，及a1，结合数列是等比数列，即可得到结论． 【解答】解：∵Sn=k?3n+1，∴a1=S1=3k+1， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2k?3n﹣1， ∵数列是等比数列，∴3k+1=2k?31﹣1， ∴k=﹣1 故选B． 3. 已知，则（    ） A．            B．          C．            D． 参考答案： B 略 4.  （    ）     A.     B.      C.     D.    参考答案： C 5. 已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（　　） A． B．64 C．2 D． 参考答案： A 【考点】集合的含义；幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】幂函数f（x）=xa的图象过点（4，），得到α的值，得到函数的解析式，再代入值计算即可． 【解答】解：∵幂函数f（x）=xa的图象过点（4，）， ∴=4α， ∴α=﹣， ∴f（x）=， ∴f（8）== 故选：A． 【点评】本题考查了幂函数的解析式和函数值，属于基础题． 6. K为小于9的实数时，曲线与曲线一定有相同的（　　） A．焦距 B．准线 C．顶点 D．离心率 参考答案： A 【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线和椭圆的简单性质求解． 【解答】解：∵K为小于9的实数时，∴曲线是焦点在x轴的双曲线， 曲线的焦距为8，准线方程为x=，有四个项点，离心率为， 曲线的焦距为8，准线方程为x=，有两个顶点，离心率为． ∴曲线与曲线一定有相同的焦距． 故选：A． 【点评】本题考查两曲线是否有相同的焦距、准线、焦点、离心率的判断，是基础题，解题时要注意双曲线和椭圆的简单性质的合理运用． 7. 若，则的值为  （  ） A．6           B．3            C．             D． 参考答案： A 8. 设向量,，若，则的值是（   ） A．            B．          C．             D． 参考答案： C ,故选C. 9. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（　　） A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 参考答案： D 【考点】C4：互斥事件与对立事件． 【分析】利用互斥事件的概念求解． 【解答】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误； “两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误； “只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误； “两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要熟练掌握互斥事件的概念． 10. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，，若函数g（x）=5[f（x）]2﹣（5a+6）f（x）+6a（a∈R）有且仅有6个不同的零点，则实数a的取值范围（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】由g（x）=0，可得f（x）=或f（x）=a，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，，可得f（x）=有4个零点，则f（x）=a有2个不同的零点，即可得出结论． 【解答】解：由g（x）=0，可得f（x）=或f（x）=a， ∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，， ∴f（x）=有4个零点，则f（x）=a有2个不同的零点， ∵，∴0＜a＜1， a=时，f（x）=a有2个不同的零点，即±1， 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，若a∈（0，1），且{a}＞{a+}，则实数a的取值范围是　  　． 参考答案： [   【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】根据{x}=x﹣[x]，以及a∈（0，1），分a＜，a=，a＞，分别比较即可． 【解答】解：根据{x}=x﹣[x]，以及a∈（0，1），当0＜a＜时，{a}=a﹣[a]=a，{a+}=a+﹣[a+]=a+，此时，{a }＜{a+}； 当a=时，{a}=a﹣[a]=a，{a+}=a+﹣[a+]=a+﹣1=0，此时，{a}＞{a+}； 当1＞a时，{a}=a﹣[a]=a，{a+}=a+﹣[a+]=a+﹣1=a﹣，此时，{a}＞{a+}； 故实数a的取值范围是[，故答案为是[ 【点评】本题考查了不等式比较大小，关键要理解新定义，找到分类的接点，属于中档题． 　 12. （5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线CB1与平面BDD1B1所成的角的大小为         ． 参考答案： 30° 考点： 直线与平面所成的角． 专题： 空间角． 分析： 根据线面角的定义先确定∠B1OC为所求的线面角，即可得到结论． 解答： 解：连接AC，BD，交于O， 连接B1O， 则AC⊥平面BDD1B1， 则∠B1OC为直线CB1与平面BDD1B1所成的角， 设正方体的棱长为1， 则AC=，OC=，CB1=， ∴sin∠B1OC==， ∴∠B1OC=30°， 故答案为：30° 点评： 本题主要考查直线和平面所成角的求解，根据定义先求出线面角是解决本题的关键． 13. 不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全体实数，则实数的取值范围是________ 参考答案： 略 14. 已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是　　． 参考答案： （8，20） 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】先画出图象，再根据条件即可求出其范围． 【解答】解：根据已知画出函数图象： 不妨设a＜b＜c， ∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log2a=log2b=， ∴log2（ab）=0，， 解得ab=1，8＜c＜20， ∴8＜abc＜20． 故答案为（8，20）． 15. 数列{an}满足，则等于______. 参考答案： 15 【分析】 先由，可求出，然后由，代入已知递推公式即可求解。 【详解】 故答案为15. 【点睛】本题考查是递推公式的应用，是一道基础题。 16. 已知球O的表面积是其半径的6π倍，则该球的体积为　　． 参考答案： π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；球． 【分析】设球O的半径为r，由球的表面积公式，解方程求得r，再由球的体积公式，计算即可得到． 【解答】解：设球O的半径为r， 则4πr2=6πr， 解得r=， 则球的体积为V=πr3=π× =π． 故答案为：π． 【点评】本题考查球的表面积和体积的公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 17. 若，是第四象限角,则＝________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3 km，∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°． （1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离； （2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）在△OAB，根据OA=3km，OB=3 km，∠AOB=90°，可以求出,在△OAM中,运用余弦定理,求出, 在△OAN中,可以求出,在△OMN中，运用正弦定理求出; （2）解法1：在△OAM中，由余弦定理可以求出的表达式, 的表达式,在△OAN中,可以求出的表达式,运用正弦定理求出,运用面积求出的表达式，运用换元法、运用基本不等式，求出的最小值； 解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜,在△OAM中，由正弦定理得OM的表达式．在△OAN中，由正弦定理得ON的表达式．利用面积公式可得出，化简整理求最值即可＝ 【详解】（1）在△OAB中，因为OA=3，OB=3，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°． 在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO?AM?cosA=7， 所以OM=，所以cos∠AOM==， 在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=． 在△OMN中，由=，得MN=×=． （2）解法1：设AM=x，0＜x＜3． 在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO?AM?cosA=x2-3x+9， 所以OM=， 所以=， 在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°） =cos∠AOM=． 由=， 得． 所以S△OMN=OM?ON?sin∠MON=??? =，（0＜x＜3）． 令6-x=t，则x=6-t，3＜t＜6，则S△OMN==（t-9+） ≥?（2-9）=． 当且仅当t=，即t=3，x=6-3时等号成立，S△OMN的最小值为． 所以M的位置为距离A点6-3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是  km2． 解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜ 在△OAM中，由=，得OM=． 在△OAN中，由=，得ON==． 所以S△OMN=OM?ON?sin∠MON=??? === ==，（0＜θ＜）． 当2θ+=，即θ=时，S△OMN的最小值为． 所以应设计∠AOM=，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2． 【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，正弦型函数的性质的应用，基本不等式的应用及相关的运算问题． 19. （12分）已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是x+y﹣1=0，2x﹣y+4=0，且它的对角线的交点是M（3，3），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程． 参考答案： 考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题： 直线与圆． 分析： 求出x+y﹣1=0，2x﹣y+4=0的交点（﹣1，2），点（﹣1，2）关于点（3，3）的对称点为（7，4）设与x+y﹣1=0平行的直线为x+y+c1=0，设与2x﹣y+4=0平行的直线为2x﹣y+c2=0，分别代入点（7，4），能求出平行四边