湖北省荆州市周沟中学2022年高三数学理测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N﹡），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3） B．（，3） C．（2，3） D．（1，3）
参考答案：
C
【考点】82：数列的函数特性．
【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．
【解答】解：根据题意，an=f（n）=；
要使{an}是递增数列，必有；
解可得，2＜a＜3；
故选：C．
2. 《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算该圆堢壔的体积为（ ）
A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺
参考答案：
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据周长求出圆堢壔的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．
【解答】解：设圆柱形圆堢壔的底面半径为r，则由题意得2πr=48，
∴r=≈8尺，又圆堢壔的高h=11尺，
∴圆堢壔的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．
3. 已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是 ．
参考答案：
或
略
4. 设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若，则” 的否命题为“若，则”
B．“”是“”的必要而不充分条件
C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题
参考答案：
D
略
6. 已知等差数列的前项和为,且,则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
参考答案：
C
由得，,又，∴，即.
7. 设f（x）=3x﹣x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[﹣2，﹣1] D．[﹣1，0]
参考答案：
D
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】令f（x）=3x﹣x2=0，得3x=x2，分别作出函数y=3x，t=x2的图象
观察图象的交点所在区间即可．
【解答】解：∵f（﹣1）=3﹣1﹣（﹣1）2=﹣1=﹣＜0，
f（0）=30﹣02=1＞0，
∴f（﹣1）?f（0）＜0，∴有零点的区间是[﹣1，0]．
8. 已知定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的个数，即函数y=f（x）和y=|x|的图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数的图象，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），
即f（x+2）=f（x），
故函数是以2为周期的周期函数，
又由函数f（x）为定义在实数集R上的偶函数，
且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，
故在[﹣1，2]上，函数y=f（x）和y=|x|的图象如下所示：
由图可知：两个函数的图象共有4个交点，
故关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上有4个根，
故选B．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点与方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
9. 已知命题：，且，命题：，.下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 已知f（x+1）=f（x﹣1），f（x）=f（﹣x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，则f（x）=0在区间[0，2014]内根的个数为( )
A．1006 B．1007 C．2013 D．2014
参考答案：
C
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由题意可推出f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；从而得到f（x）=0在区间[0，2014]内根的个数．
解：∵f（x）=f（﹣x+2），
∴f（x）的图象关于x=1对称，
又∵方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，
∴方程f（x）=0在[1，2]内有且只有一个根，
故方程f（x）=0在[0，2]上有且只有两个根，；
又∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x）是周期为2的函数，
故f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；
故f（x）=0在区间[0，2014]内根的个数为2013，
故选C．
【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于 ．
参考答案：
π
考点:两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．
专题:计算题；压轴题．
分析:本题考查的知识点是诱导公式，二倍角公式及函数图象的交点，将y=2sin（x+）cos（x﹣）的解析式化简得y=sin（2x）+1，令y=，解得x=kπ+±（k∈N），代入易得|P2P4|的值．
解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）
=2sin（x﹣+）cos（x﹣）
=2cos（x﹣）cos（x﹣）
=cos[2（x﹣）]+1
=cos（2x﹣）+1
=sin（2x）+1
若y=2sin（x+）cos（x﹣）=
则2x=2kπ+±（k∈N）
x=kπ+±（k∈N）
故|P2P4|=π
故答案为：π
点评: 求两个函数图象的交点间的距离，关于是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．
12. 如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=λ﹣μ的最大值是 ．
参考答案：
3
略
13. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为，那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是 ▲ ．
参考答案：
14. 校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有 种．
参考答案：
144
15. 若，则的最小值为________.
参考答案：
【知识点】基本不等式E6
因为，所以.
【思路点拨】可利用1的代换，把所求的式子转化成基本不等式特征，利用基本不等式求最值.
16. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），计算它的体积为 cm3.
参考答案：
17. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，当x∈(0,1)时有f(x)＝.
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明．
参考答案：
(1)设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，
在f(－x)＝－f(x)中，令x＝0，
f(－0)＝－f(0)?f(0)＝0.
综上，当x∈(－1,1)时，有：
(2)f(x)在(0,1)上是减函数．
证明：设0
0,01,2x2>2x1，
∴f(x2)
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