湖北省荆州市长江大学附属中学2023年高二数学理月考试卷含解析

湖北省荆州市长江大学附属中学2023年高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】简单空间图形的三视图． 【专题】计算题；作图题． 【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可． 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为： 故选A． 【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力． 2. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是                                    A．0个  B．2个  C．4个  D．6个 参考答案： C 3. 定义为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】类比推理． 【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和． 【解答】解：由已知得， ∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立， ∴an=4n﹣1， ∴， ∴ ∴=+（）+…+（）=1﹣=． 故选C． 【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键． 4. 函数在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） （A）3            （B）2            （C）1             （D）－1 参考答案： C 略 5. 已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为(  ) A. 12 B. 20 C. 25 D. 27 参考答案： D 【分析】 设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于的值不同所得的结果不同，所以要讨论的三种不同情况． 【详解】设这个数字是，则平均数为，众数是8，若，则中位数为8，此时， 若，则中位数为，此时，， 若，则中位数为10，，， 所有可能值为－5，9，23，其和为27． 故选：． 【点睛】本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这是一个易错题目． 6. 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可． 【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到， 解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A． 7. 在△ABC中，，，现将△ABC绕BC所在直线旋转至，设二面角的大小为，PB与平面ABC所成角为，PC与平面PAB所成角为，若，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由题意画出图形，由线面角的概念可得的范围，得到正确，取特殊情况说明，，错误． 【详解】如图， 为等腰直角三角形，，将绕所在直线旋转至，则， 可得平面，二面角的大小， 是平面的一条斜线，则与平面垂直时，与平面所成角最大，则的范围为，，故正确； 此时，故错误； 当与平面垂直时，三棱锥满足，，，， 则，设，则，在平面的射影为的中心， 求得，即与平面所成角的余弦值，则，故错误； 当无限接近0时，无限接近，，故错误． 综上，正确的选项是． 故选：C． 【点睛】本题考查空间角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，属难题．   8. 在不等式组表示的平面区域内，目标函数的最大值是（   ） Ａ．             Ｂ．2　　       　Ｃ． 1          Ｄ．　 参考答案： C 9. 已知某篮球运动员2013年度参加了25场比赛，我从中抽取5场，用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示，则该样本的方差为（　　） A．25 B．24 C．18 D．16 参考答案： D 【考点】茎叶图． 【分析】根据茎叶图中的数据，求出平均数，利用方差的公式即可得到结论． 【解答】解：样本的平均数为=24， 则样本方差为 [（19﹣24）2+（21﹣24）2+（23﹣24）2+（27﹣24）2+（30﹣24）2]=16， 故选：D． 10. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（　　） A．252种 B．112种 C．70种 D．56种 参考答案： B 【考点】D8：排列、组合的实际应用． 【分析】由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生两种情况一是包括甲、乙每屋住4人、3人，二是甲和乙两个屋子住5人、2人，列出两种情况的结果，根据分类计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生 包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人， ∵当甲和乙两个屋子住4人、3人，共有C73A22 当甲和乙两个屋子住5人、2人，共有C72A22 ∴根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22=35×2+21×2=112（种）． 故选B． 【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，解题时主要依据是要看清楚每个宿舍至少安排2名学生两种情况，注意做到不重不漏． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________. 参考答案：   12. 与双曲线有共同的渐近线且过点的双曲线方程为          .   参考答案： 略 13. 在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则__________. 参考答案： 略 14. 函数的单调递增区间是                      ． 参考答案： 1 略 15. 如图所示，A，B分别是椭圆的右、上顶点，C是AB的三等分点（靠近点B），F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且MF⊥OA，则椭圆的离心率为         ． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设A（a，0），B（0，b），F（c，0），椭圆方程为+=1（a＞b＞0），求得C和M的坐标，运用O，C，M共线，即有kOC=kOM，再由离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：设A（a，0），B（0，b），F（c，0）， 椭圆方程为+=1（a＞b＞0）， 令x=c，可得y=b=， 即有M（c，）， 由C是AB的三等分点（靠近点B）， 可得C（，），即（，）， 由O，C，M共线，可得kOC=kOM， 即为=，即有b=2c， a==c，则e==． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的有关知识，考查运算能力，属于中档题． 16. 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为_____． 参考答案： 如图所示，四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，故，在中，，设，则有，,又 ，则，四棱锥的体积取值范围为.   17. 记为两数中的最小值，当正数变化时，也在变化，则的最大值为   ▲      ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数．（a为常数，a＞0） （Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值； （Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数； （Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想． 【分析】（Ⅰ）先求出其导函数：，利用是函数f（x）的一个极值点对应的结论f'（）=0即可求a的值； （Ⅱ）利用：，在0＜a≤2时，分析出因式中的每一项都大于等于0即可证明结论； （Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为，把问题转化为对任意的a∈（1，2），不等式恒成立；然后再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求即可求实数m的取值范围． 【解答】解：由题得：． （Ⅰ）由已知，得且，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分） （Ⅱ）当0＜a≤2时，∵，∴， ∴当时，．又， ∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函数．（5分） （Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为， 于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式恒成立． 记，（1＜a＜2） 则， 当m=0时，，∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0， 由于a2﹣1＞0，∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立， 故必有m＞0，∴． 若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故， 这时，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求， ∴，即， 所以，实数m的取值范围为．（14分） 【点评】本题第一问主要考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 19. （本小题满分12分）已知函数是R上的奇函数， 当时取得极值，（1）求的单调区间和极大值； （2）证明对任意，不等式恒成立. 、 参考答案： 解：∵为R上的奇函数，∴， 即，∴d=0.∴，. ∵当x=1时，取得极值.∴    ∴  解得：. ∴，， 令，则或，令，则. ∴的单调递增区间为和，单调递减区间为.………6分 （2）证明：由（1）知，，（）是减函数， 且在上的最大值，在上的最小值， ∴对任意的，恒有………12分 略 20. 已知函数. (Ⅰ)若在处取得极值,求的值; (Ⅱ)求的单调区间; (Ⅲ)若且,函数,若对于,总存在使得,求实数的取值范