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湖北省荆门市京山县第五高级中学高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知sin(α﹣)=,则cos(α+)的值等于( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
参考答案:
B
【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用.
【专题】三角函数的求值.
【分析】利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后,结合已知即可得解.
【解答】解:∵sin(α﹣)=,
∴cos(α+)=cos(α+)=﹣cos()=﹣sin[﹣()]=﹣sin(﹣α)=sin(α﹣)=.
故选:B.
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用,属于基础题.
2. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数,且当时成立(其中的导函数),若,,则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 已知函数y=f(x)(x∈R)且在[0,+∞)上是增函数,g(x)=f(|x|),若g(2x﹣1)<g(2),则x的取值范围是( )
A.(﹣,) B.(﹣∞,) C.(,+∞) D.(﹣∞,)∪(,+∞)
参考答案:
A
【考点】函数单调性的性质.
【分析】根据题意,由g(x)与f(x)的关系可得g(2x﹣1)<g(2)?f(|2x﹣1|)<f(2),结合函数f(x)在[0,+∞)上单调性可得|2x﹣1|<2,解可得答案.
【解答】解:根据题意,g(x)=f(|x|),则g(2x﹣1)=f(|2x﹣1|),g(2)=f(2),
g(2x﹣1)<g(2)?f(|2x﹣1|)<f(2),
又由函数y=f(x)(x∈R)且在[0,+∞)上是增函数,
若f(|2x﹣1|)<f(2),则有|2x﹣1|<2,
解可得﹣<x<;
即x的取值范围是(﹣,);
故选:A.
4. 已知函数满足条件:且(其中为正数),则函数的解析式可以是( )
A. B. C. D.
参考答案:
5. 从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件,每次取出后放回,连续取两次,则取出两件产品中恰有一件是次品的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,已知x∈(0,1)时,f(x)=log(1-x),则函数f(x)在(1,2)上( )
A.是增函数,且f(x)<0
B.是增函数,且f(x)>0
C.是减函数,且f(x)<0
D.是减函数,且f(x)>0
参考答案:
D
7. 函数且的图象一定过定点( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
【答案解析】B 解析:解:由指数函数的定义可知当,这时,所以函数的图像一定过定点.
8. 设集合,B={x|1B是sinA>sinB的充要条件;
②设m,n是两条直线,α,β是空间中两个平面.若,;
③函数f(x)=是周期为2的偶函数;
④已知定点A(1,1),抛物线的焦点为F,点P为抛物线上任意一点,则的最小值为2;
以上命题正确的是________(请把正确命题的序号都写上)
参考答案:
①④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研,考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空,第一空答对得3分,答错或不答得0分;第二空答对得2分,答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷,其中该题的得分组成容量为1000的样本,统计结果如下表:
第一空得分情况
第二空得分情况
得分
0
3
得分
0
2
人数
198
802
人数
698
302
(Ⅰ)求样本试卷中该题的平均分,并据此估计这个地区高三学生该题的平均分;
(Ⅱ)这个地区的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中各种得分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率.
参考答案:
【考点】等可能事件的概率;众数、中位数、平均数.
【专题】计算题;应用题.
【分析】(I)根据表中所给的数据代入求平均值的公式,得到这组数据的平均数,估计这个地区高三学生该题的平均分.
(II)依题意有第一空答对的概率为0.8,第二空答对的概率为0.3,若要第一空得分不低于第二空得分,包括两种情况,这两种情况是互斥的,得到概率.
【解答】解:(Ⅰ)设样本试卷中该题的平均分为,则由表中数据可得:,
据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分.
(Ⅱ)依题意有第一空答对的概率为0.8,第二空答对的概率为0.3,
记“第一空答对”为事件A,“第二空答对”为事件B,则“第一空答错”为事件
“第二空答错”为事件.若要第一空得分不低于第二空得分,则A发生或与同时发生,
故有.
答:该同学这道题第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.
【点评】本题考查平均数的求法和互斥事件的概率,本题解题的关键是看清所要求的事件包括几部分,本题是一个基础题.
19. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数
(1)解关于的不等式;
(2)若函数的图象恒在函数图象的上方,求的取值范围。
参考答案:
20. 已知函数f(x)=|x-3|+|x-2|+m-1
(1)当m=1时,求不等式f(x)<3x的解集.
(2)若f(x)≥3恒成立,求m的取值范围;
参考答案:
(1)、当x≤2时,5x>5,解得x>1,∴11,解得x>,∴2-5,∴x≥3. 。。。。。。。。。 (6分)
综上,解集为(1 , +∞) 。。。。。。。。。 (7分)
(2)、|x-3|+|x-2|+m-1≥3,对任意x∈R恒成立,
即(|x-3|+|x-2|)min≥4-m. 。。。。。。。。。 (9分)
又 |x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1, 。。。。。。。。。 (10分)
所以 (|x-3|+|x-2|)min=1≥4-m,
解得 m≥3. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 (12分)
21. 如图,平行四边形中,
将三角形CBD沿BD折起到三角形EBD的位置,使平面EBD垂直平面ABD.
(1)证明AB⊥DE;
(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.
参考答案:
略
22. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为( t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴 建立极坐标系,圆C的方程为 ρ=2sinθ.
(Ⅰ)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点P的直角坐标为(1,0),圆C与直线l交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.
参考答案:
【考点】直线的参数方程.
【分析】(Ⅰ)直线l的参数方程为( t为参数).消去参数得直线普通方程,由圆C的方程为 ρ=2sinθ,即ρ2=2ρsinθ,利用互化公式可得圆C的直角坐标方程.
(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2﹣4t+1=0,△>0.利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|.即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)直线l的参数方程为( t为参数).
消去参数得直线普通方程为x+y﹣=0,
由圆C的方程为 ρ=2sinθ,即ρ2=2ρsinθ,
可得圆C的直角坐标方程:x2+y2=2y.
(Ⅱ)直线l的参数方程为( t为参数).
把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2﹣4t+1=0,△>0.
∴t1+t2=4,t1t2=1.
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4.
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