湖北省荆州市石首大垸乡中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

湖北省荆州市石首大垸乡中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设等差数列的前项和为，若，则(  ) A．27         B．36       C.45         D．54 参考答案： D 2. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】运行第一次， ， ， 运行第二次， ， ， 运行第三次， ， ， 结束循环，输出 ，故选B.   3. 一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为（   ） A．  　　　 　B．   　　　　　 C．      　　　　D． 参考答案： D  本题主要考察的是古典概型，一枚硬币连掷2次可能出现正正，反反，正反，反正四种情况，而只有一次出现正面的有两种， P＝＝  故选D． 4. 设函数，则函数是 (   ) A．最小正周期为的奇函数       B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数       D．最小正周期为的偶函数 参考答案： A 因为原函数可以化为单一函数，因此可知是奇函数，并且周期是，故选A 5. 为求使成立的最小正整数，如果按下面的程序框图执行，输出框中“？”处应该填入           （    ） A．            B．        C．            D． 参考答案： A 略 6. 已知函数，则下列结论不正确的是（   ） A.最大值为2     B.最小正周期为π        C.把函数的图象向右平移个单位长度就得到f(x)的图像 D.单调递增区间是， 参考答案： C 7. 、分别为抛物线上不同的两点，为焦点，若，则（    ） A．      B．      C．      D． 参考答案： A 考点：抛物线的定义． 【名师点睛】涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离与点到准线的距离根据题设条件相互转化，对抛物线上的点来讲，其焦半径为． 8. 设，则的展开式中常数项是 （    ） A． 332        B．-332       C.    320     D．-320 参考答案： B 设 ， 则多项式， ， 故展开式的常数项为，故选B.   9. 的结果为                                      A．1              B．2              C．3              D．不存在 参考答案： B 10. 函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，有下列结论： ①；②； ③； ④若关于的方程恰有三个不同实根，则取值唯一.其中正确的结论个数为（    ） A.1        B.2       C.3         D.4 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知的内角的对边分别为，且,则的面积等于________. 参考答案： 略 12. 程序如下： t←1 i←2 While  i≤4 t←t×i i←i＋1 End  While Print  t 以上程序输出的结果是              ． 参考答案： 24 略 13. 设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则＝           。 参考答案： 14. 若存在实数使成立，则实数的取值范围是           ． 参考答案： 15. 已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为　   　． 参考答案： ﹣x2=1 【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质． 【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论． 【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0， ∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为， ∴， ∴2b=a， ∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3， ∴FF1=3， ∴c2+4=9， ∴c=， ∵c2=a2+b2，a=2b， ∴a=2，b=1， ∴双曲线的方程为﹣x2=1． 故答案为：﹣x2=1． 16. 曲线在点处的切线方程为___________； 参考答案： 略 17.  (本小题满分12分)   在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=(1,cosA -1)，=(cosA,1)且满足⊥. （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）若a=，b+c=3 求b、c的值. 参考答案： (1)，cosA=,A为△ABC内角，∴A=60o  (2)a=,A=60o,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA得a2=(b+c)2-2bc-2bccosA ∵b+c=3, ∴3=9-3bc,bc=2 由得 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分14分) 设圆过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为4.  (１)求圆心的轨迹E的方程； (２)过点(０，１)，作轨迹的两条互相垂直的弦 、，设、 的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由． 参考答案： 解：(1)设圆心的坐标为，如图过圆心作轴于H, 则H为RG的中点，在中，…3分 ∵ ∴   即  …………………6分  (2) 设， 直线AB的方程为（）则-----①---② 由①－②得，∴，………………9分 ∵点在直线上， ∴． ∴点Ｍ的坐标为． ………………10分 同理可得：, , ∴点的坐标为． ………………11分 直线的斜率为，其方程为 ，整理得，………………13分 显然，不论为何值，点均满足方程， ∴直线恒过定点．……………………14分 略 19. 本小题12分）文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为. （I）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果（如三科成绩均为A记为（）； （II）求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率； 参考答案： 解（1）该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为的可能结果有种， 分别为、、、、、、、；        …………………6分 （2）由（1）可知，有两个A的情况为、、三个， 从而其概率为             …………………12分 略 20. 已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两个根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝ (n∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；  (2)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 参考答案： (1)∵a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d>0， ∴a3＝5，a5＝9，公差d＝＝2. ∴an＝a5＋(n－5)d＝2n－1.    - - - - - - - - - - - -- - 3分 又当n＝1时，有b1＝S1＝，∴b1＝， 当n≥2时，有bn＝Sn－Sn－1＝ (bn－1－bn)， ∴＝ (n≥2)．∴数列{bn}是首项b1＝，公比q＝的等比数列， ∴bn＝b1qn－1＝.  - - - - - - - - - - - - -- - 6分 21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值． （II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0）， 化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0， 其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=． 曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）， 化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ， 由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1． （Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ． ∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1， ∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1， 当2θ+=时，θ=时取到最大值． 22. 某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为，，三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.   工种类别 A B C 赔付频率   （1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限； （2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 参考答案： （1）设工种的每份保单保费为元，保险公司每单的收益为随机变量元，则的分布列为 保险公司的期望收益为（元）. 由题意得，解得(元). 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为（元）， 则保险公司的期望利润为元. 由题意得，解得（元）. 设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为（元）， 则保险公司的期望利润为元. 由题意得，解得（元）. 综上，工种的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买类产品的份数为（份）， 购买类产品的份数为（份）， 购买类产品的份数为（份）， 企业支付的总保费为（元）， 保险公司在这宗交易中的期望利润为（元）.