湖北省荆州市荒湖中学2022年高三数学理期末试题含解析

湖北省荆州市荒湖中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若实数数列：﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，则圆锥曲线x2+=1的离心率是（　　） A．或 B．或 C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质；等比数列的通项公式． 【分析】利用等比数列求出a2，然后代入曲线方程，求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：因为﹣1，a1，a2，a3，﹣81成等比数列，所以a22=﹣1×（﹣81）=81，a2=﹣9（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为x2﹣=1，其中a=1，b=3，c==，离心率为e==， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的应用，考查计算能力． 2. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积． 【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图 我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1 则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d= 则球半径R2== 则该球的表面积S=4πR2= 故选B 【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键． 3. 各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且成等差数列，则的值为（　　） A． B． C． D．或 参考答案： B 【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式． 【专题】计算题． 【分析】题意可得，a3=a1+a2，结合等比数列的通项公式可得q2﹣q﹣1=0结合an＞0可求q，进而可求 【解答】解由题意可得，a3=a1+a2 即a1q2=a1+a1q∴q2﹣q﹣1=0 an＞0 ∵q＞0∴ ∴ 故选B． 【点评】本题主要考查了利用等差与等比数列的通项公式求解数列的项，属于基础试题． 4. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 参考答案： C = 所以的展开式中的系数=故选C. 5. 已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是(　　) A、0            B、            C、1           D、 参考答案： A 略 6. 方程C：y2=x2+所对应的曲线是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】根据函数的奇偶性和函数的最值即可判断． 【解答】解：当y＞0时，y=（x2+），该为函数为偶函数， 故关于y轴对称，且y2=x2+≥2=2，当且仅当x=±1时，取等号，故最小值为2， y2=x2+也关于x轴对称， 故选：D 7. 设则（    ） A.       B.       C.       D. 参考答案： C 8. 双曲线的离心率大于的充分必要条件是（　　） A． B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得 m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案． 【解答】解：双曲线，说明m＞0， ∴a=1，b=，可得c=， ∵离心率e＞等价于?m＞1， ∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1． 故选C． 【点评】本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题． 9. 在复平面内，设复数，对应的点关于实轴对称，（i是虚数单位），则（    ） A. 5 B. -5 C. D. 参考答案： A 【分析】 求得，然后计算出的值. 【详解】依题意可知，故，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的对称性，考查复数的乘法运算，属于基础题. 10. “是定义在（0，+∞）上的连续函数”是“直线和直线互相垂直”的（    ）        A．充分不必要条件                                 B．必要不充分条件             C．充要条件                                                         D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知的取值如下表： 从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则实数的值为       ． 参考答案：   12. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为　      　． 参考答案： 略 13. 从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003,…，500进行编号．如果从随机数表第第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是___________．(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数) 16 22 77 94 39  49 54 43 54 82  17 37 93 23 78  87 35 20 96 43  84 26 34 91 64 84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 72 06 50 25  83 42 16 33 76 63 01 63 78 59  16 95 55 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79 参考答案： 206 14. （几何证明选讲选做题） 如图，是圆的一条弦，延长至点，使得，过作圆的切线，为切点，的平分线交于点，则的长为               . 参考答案： 15. 已知实数满足，则的最小值为    参考答案： 略 16. （几何证明选讲选做题）   如图3，是圆的一条弦，延长至点，使得，过作圆的切线，为切点，的平分线交于点，则的长为        . 参考答案： 17. （5分）已知集合A={x|0＜x＜}，则A∩Z=　　． 参考答案： {1，2} 【考点】： 交集及其运算． 【专题】： 集合． 【分析】： 求出集合A与整数集的交集即可． 解：∵A={x|0＜x＜}， ∴A∩Z={1，2}． 故答案为：{1，2} 【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列中，． （Ⅰ）记，求证：数列为等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和． 参考答案： 解：（Ⅰ）由，可知． 因为，所以， 又， 所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以． 所以 其中, 记 ① ② 两式相减得 所以 略 19. （本小题满分13分） 已知椭圆C：经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论． 参考答案： （Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在． 设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得 (1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0， 因此直线PQ的斜率为定值． ……………………………………………………9分 （Ⅲ）（方法一）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k， 假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．…………………………11分 若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)， 与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若k＝－1也不合题意． 故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………13分 （方法二）由（2）直线PQ的斜率为1，设其方程为      得 假设为直角，则由得………………………………11分 所以直线PQ的方程为 因为点M（-2，-1）在直线上，即点Ｐ或点Ｑ中有一点与点Ｍ重合，不符合题意． 所以不可能为直角．………………………………13分 20. 已知各项均不相等的等差数列的前四项和,且成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设为数列的前项和,若对一切恒成立,求实数的最小值. 参考答案： （Ⅰ）设公差为d.由已知得………………………………3分 解得，所以………………………………6分 （Ⅱ）， ………………………………9分          对恒成立，即对恒成立           又         ∴的最小值为……………………………………………………………12分 略 21. 在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为． （Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）若点 P坐标为，圆C与直线l交于 A，B两点，求|PA|+|PB|的值． 参考答案： 考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：选作题；坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程． （Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值． 解答： 解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分 又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 （Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0 设t1，t2是上述方程的两实数根， 所以t1+t2=3 又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2， 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分． 点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 22. 选修4-5：不等式选讲 设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对恒成立，求a的取值范围. 参考答案： 解：（1）等价于或或， 解得或，故不等式的解集为或. （2）因为： 所以，由题意的：，解得或.