湖北省荆州市石首南岳高级中学高二数学理上学期期末试题含解析

湖北省荆州市石首南岳高级中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数满足，则的取值范围是(    ) A．        B．     C．      D． 参考答案： C 2. 函数在内有极小值，则实数的取值范围为（    ）   A.         B.        C.        D. 参考答案： D 3. 现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则D或E不在盒中的概率是（     ） A.　 　　　B.　   　　  C.　　　　  D.　 参考答案： C 4. 观察等式：， ……，由此得出以下推广命题不正确的是（    ） A．       B． C．           D． 参考答案： A 略 5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】数列的函数特性． 【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用． 【分析】利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n项和公式求出前6项的和的范围 【解答】解：a5=a1+4d，a6=a1+5d， 所以1≤a1+4d≤4，2≤a1+5d≤3， S6==3（a1+a6）=6a1+15d 分析可得，6a1+15d=15（a1+4d）﹣9（a1+5d）， 故﹣12≤S6≤42． 故选：C 【点评】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向． 6. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3 + a17 =10，则S19的值是(       ) A. 55                B. 95                  C. 100                 D. 110 参考答案： B 7. 过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有              （   ） Ａ．１条　　Ｂ．２条　　Ｃ．３条　　Ｄ．４条 参考答案： C 略 8. 给出下列四个命题：1）若； 2）2i-1虚部是2i； 3）若；4）若为实数；其中正确命题的个数为    （    ）            A.1个          B.2个            C.3个               D.4个 参考答案： A 略 9. 若曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线与y=x﹣1平行，则a=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 参考答案： C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求得f（x）的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值． 【解答】解：f（x）=ax2+x+lnx的导数为f′（x）=2ax++， 曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2a++1=2a+， 由切线与y=x﹣1平行，可得2a+=， 解得a=1． 故选：C． 10. 与椭圆+y2=1共焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是（　　） A．﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．﹣=1 D．x2﹣3y2=1 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线方程，求解即可． 【解答】解：椭圆+y2=1的焦点坐标（，0）， 设双曲线方程为：， 双曲线经过点P（2，1）， 可得，解得a=， 所求双曲线方程为：﹣y2=1． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与双曲线C2有共同的左右焦点F1，F2，两曲线的离心率之积e1?e2=1，D是两曲线在第一象限的交点，则F1D：F2D=　　（用a，b表示） 参考答案： ﹣1 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设椭圆与双曲线：（A＞0，B＞0）的半焦距为c，PF1=m，PF2=n，利用椭圆、双曲线的定义，结合e1?e2=1可得aA=c2，即DF2垂直于x轴，D（c，）． 【解答】解：设双曲线：（A＞0，B＞0）， 椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=m，PF2=n．∴m+n=2a，m﹣n=2A． ∵e1e2=1，∵． ?m2=n2+4c2?DF2垂直于x轴?D（c，）?DF2=，DF1=2a﹣，则F1D：F2D=． 故答案为： 12. 设等比数列{}的公比q＝2，前n项的和为，则的值为_____________． 参考答案： 13. 已知sinα=，则cosα=      ；tanα=    ． 参考答案： ， 考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：由sinα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出tanα的值． 解答： 解：∵sinα=，α∈（0，）， ∴cosα==；tanα==． 故答案为：； 点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 14. 已知不等式的解集是，则    ▲    . 参考答案： 略 15. 在正方体ABCD—A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线异面的有__________条; 参考答案： 6 略 16. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为　　． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算出此角的正弦值即可． 【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， ∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角． 在△AC1A1中，sin∠AC1A1===． 故答案为：． 17. 用数学归纳法证明“＜，＞1”时，由＞1不等式成立，推证时，左边应增加的项数是   ▲　　． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱可获利润40元，B种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).   混合 烹调 包装 A 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中，混合的设备至多用机器12 h，烹调的设备最多只能用机器30 h，包装的设备最多只能用机器15 h，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？ 参考答案： 解：（12分）解析：　设生产A种糖果x箱，生产B种糖果y箱，可获利润z元，即求 z＝40x＋50y在约束条件下的最大值． 作出可行域，如图．   作直线l0：40x＋50y＝0，平移l0经过点P时， z＝40x＋50y取最大值，解方程组 ∴zmax＝40×120＋50×300＝19 800. 所以生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱时，可以获得最大利润19 800元． 略 19. 已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点在X轴上，离心率。 （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设椭圆E的右顶点为B，直线过左焦点且垂直于X轴,交椭圆于M、N两点，求的面积. 参考答案： 解：（1）由 于是可设椭圆方程为把A（2,3）代入得 ∴所求椭圆E的方程为       （2）由（1）可知， ∴左焦点（-2，0），B（4,0）， 把代入方程得M（-2,3）、N（-2，-3）， ∴的面积= 略 20. 已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y的值． 参考答案： 解：设代入条件并整理得， 　　由复数相等的条件得，解得． 　　∴，． 略 21. 椭圆的焦距为，直线过点和 若,求此椭圆的准线方程; (2) 若点到直线的距离与点到直线的距离之和为，求椭圆的离心率 的取值范围． 参考答案： 解：(1),所以椭圆的准线方程为. (2)直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式，且，得点到的距离． 同理得点到的距离． ． ，的取值范围是． 略 22. （本小题满分10分）已知函数,函数 ⑴当时,求函数的表达式; ⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值. 参考答案：