湖北省荆州市石首文汇高级中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

湖北省荆州市石首文汇高级中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设点P（x，y），则“x=﹣2且y=1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据吃饭必要条件的定义以及点和直线的关系判断即可． 【解答】解：∵x=﹣2且y=1”可以得到“点P在直线l：x+y+1=0上”， 当“点P在直线l：x+y+1=0上”时，不一定得到x=﹣2且y=1， ∴“x=﹣2且y=1”是“点P在直线l：x+y+1=0上”的充分不必要条件， 故选：A． 2. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是    A.   B.   C.三棱锥的体积为定值   D.异面直线所成的角为定值 参考答案： D A正确，易证B显然正确，；C正确，可用等积法求得；D错误。 3. 若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（　　） A．（，+∞） B．（﹣∞，0）∪（，+∞） C．（，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞） 参考答案： B 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】由已知不等式的解集可求a，b的值，然后解不等式＜即可． 【解答】解：因为不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2）， 所以1+2=a，1×2=b，即a=3，b=2， 所以不等式＜为， 整理得， 解得x＜0或者x＞， 所以不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（，+∞）． 故选B． 4. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于(　　) 图21－1 A．7                                B．15 C．31                               D．63 参考答案： D 5. 若a,b,c成等比数列,则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数是（  ） A  0                  B  1                C  2                            D  0或2 参考答案： A 6. 不等式（m﹣2）（m+3）＜0的一个充分不必要条件是（　　） A．﹣3＜m＜0 B．﹣3＜m＜2 C．﹣3＜m＜4 D．﹣1＜m＜3 参考答案： A 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【解答】解：由（m﹣2）（m+3）＜0得﹣3＜m＜2，即不等式的等价条件是﹣3＜m＜2， 则不等式（m﹣2）（m+3）＜0的一个充分不必要条件一个是（﹣3，2）的一个真子集， 则满足条件是﹣3＜m＜0， 故选：A 　 7. 若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A.       B.         C.        D. 参考答案： C 略 8. 已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于                                                    (　　) A、－1　　          B、0　　　　      C、1　　　　      D、2 参考答案： A 略 9. 已知命题，，则（    ） A．,             B．, C．,≤              D．,≤ 参考答案： C 略 10. 已知，则不等式的解集为（  ） A. (0,e) B. (1,+∞) C. (e,+∞) D. (1,e) 参考答案： A 【分析】 利用导数判断出在上递增，而，由此将不等式转化为，然后利用单调性列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由，故函数在上单调递增， 又由， 故不等式可化为，，得， 解得．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(经过圆锥旋转轴的截面中两条母线的夹角)是             参考答案： 60° 12. 的展开式中的系数是       。 参考答案： -20 13. 已知函数，函数有四个零点，则实数k的取值范围是______． 参考答案： 【分析】 将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围. 【详解】有四个零点等价于与有四个不同的交点 当时，， 当时，；当时， 即在上单调递减，在上单调递增    当时，，此时 由此可得图象如下图所示： 恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点 即临界状态为与两段图象分别相切 当与相切时，可得： 当与相切时 设切点坐标为，则 又恒过，则 即，解得：    由图象可知： 【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解. 14. 已知在上单调递减，则实数的取值范围是_________ 参考答案： [-2，1] 15. 过点P ( 1，1 )且与坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是            。 参考答案： 3 16. 设点A(2，－3)，B(－3，－2)，点P(x,y)是线段AB上任一点，则的取值范围是             参考答案： k≥或k≤-4 如图，取Q（1，1），则的取值范围等价于直线PQ的斜率k的取值范围， ∵点A（2，-3），B（-3，-2），点P（x，y）是线段AB上任一点，所以， 所以k≥或k≤-4。 17. （3x+sinx）dx=　　． 参考答案： π2+1 【考点】定积分的简单应用． 【分析】运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可． 【解答】解：（3x+sinx）dx=3xdx+sinxdx =﹣cosx=π2﹣（﹣1）=π2+1 故答案为：π2+1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6． （Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0； （Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值． 参考答案： 【考点】一元二次不等式的应用． 【分析】（Ⅰ）f（1）＞0，即﹣3+a（6﹣a）+6＞0，即a2﹣6a﹣3＜0，由此可得不等式的解集； （Ⅱ）不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），等价于﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），即﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根，利用韦达定理可求实数a，b的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6，f（1）＞0 ∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0 ∴a2﹣6a﹣3＜0 ∴ ∴不等式的解集为 （Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3）， ∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3）， ∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根 ∴ ∴ 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面．    （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小小 参考答案： 证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.    （Ⅰ）证明：不防设作， 则， ，  由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.  ∴平面.    （Ⅱ）解：设为中点，则， 由 因此，是所求二面角的平面角， 解得所求二面角的大小为 20. （本题满分12分） 如图,已知四棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,四边形是菱形,,是的中点,是的中点． （Ⅰ）求证:平面． （Ⅱ）求二面角的余弦值． 参考答案： 证明（Ⅰ）取的中点,连接． 由题意知且,且, 所以且,即四边形是平行四边形,所以, 又平面,平面 所以平面． （Ⅱ）以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,,则 , 平面的法向量,设是平面的法向量, 由,令, 得 又二面角的平面角是锐角, 所以二面角的平面角的余弦值是 21. 在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系． （Ⅰ）求双曲线Γ的方程； （Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值． 参考答案： 【考点】平面与圆柱面的截线． 【分析】（Ⅰ）由已知推导出双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4），由此能求出双曲线的标准方程． （Ⅱ） 设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线方程为y=k（x﹣x0）+y0，与椭圆联立，再利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能证明线段MN的长为定值，并能求出这个定值． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l与平面α的距离|OO'|=2， A为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．… 在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面， 交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B， 由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2， 从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．… 设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4， 所以双曲线的标准方程为… 证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴，… 设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（x﹣x0）+y0， ：… 由△=0，化简得：… 令PM、PN的斜率分别为k1、k2，，… 因点P（x0，y0）在圆Γ'上，则有，得：，∴k1k2=﹣1，… 知PM⊥PN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4．… 22. 已知函数， （1）求f(x)在点处的切线方程； （2）若，其中是f(x)的导函数,求值。 参考答案： （1）即；（2）. 【分析】 （1）先求导数，代入切点得到斜率，在计算切线方程. （2）根据条件先计算出，在利用齐次式上下同时除以 得到答案. 【详解】解：（1） 因为 切线斜率 所以在点处的切线方程为：即 （2）因为， 所以 解得 所以     【点睛】本题考查了切线的计算，三角恒等变化，利用齐次式上下同时除以是解题的关键.