江西省吉安市万安崇文中学高一数学理测试题含解析

江西省吉安市万安崇文中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的反函数的图象过点，则的值为（     ）               A.           B.            C.或        D. 参考答案： B 2. 设R，向量且，则(    ) A.              B.               C.            D. 10 参考答案： C 略 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 参考答案： C 试题分析：． 考点：诱导公式 4. （5分）已知角α的终边过点（﹣3，4），则cosα=（） A． B． C． D． 参考答案： C 考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 计算题． 分析： 先计算，再利用三角函数的定义，即可求得cosα． 解答： 由题意， ∴ 故选C． 点评： 本题的考点是任意角的三角函数的定义，考查三角函数定义的运用，属于基础题． 5. 若当时，均有意义，则函数的图像大致是(       ) 参考答案： B 6. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（     ） （A）向右平移个单位长度      （B）向右平移个单位长度 （C）向左平移个单位长度      （D）向左平移个单位长度 参考答案： B 略 7. 设，则(　　) A.         B.           C.         D. 参考答案： C 略 8. 已知奇函数，当时，则= (     ) A.1        B.2        C.-1       D.-2 参考答案： D 略 9. 已知函数，则下列结论正确的是 A.是偶函数，递增区间是 B.是偶函数，递减区间是 C.是奇函数，递减区间是 D.是奇函数，递增区间是 参考答案： C 略 10. 若函数f（x）=，则f（f（2））=（　　） A．1 B． C． D．5 参考答案： C 【考点】分段函数的应用． 【分析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=， 则f（f（2））=f（22﹣3×2+1）=f（﹣1）==． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 为了解学生数学答卷情况，某市教育部门在高三某次测试后抽取 了n 名同学的第Ⅱ 卷进行调查，并根据所得数据画出了样本的频 率分布直方图(如右图)，已知从左到右第三小组（即[70,80）内） 的频数是50，则n＝______. 参考答案： 125 12. 在中，若，则 _________. 参考答案： 【分析】 运用正弦定理实现边角转化，然后逆用二角和的正弦公式、三角形内角和定理、以及诱导公式，化简，最后求出的值. 【详解】根据正弦定理，可知,由，可得 ， ，， ,所以 【点睛】本题考查了正弦定理、逆用二角和的正弦公式、诱导公式，考查了公式恒等变换能力. 13. 若，则的取值范围为________________. 参考答案： 14. （10分）在直线l：3x﹣y﹣1=0上存在一点P，使得：P点到点A（4，1）和点B（3，4）的距离之和最小．求此时的距离之和． 参考答案： 考点： 点到直线的距离公式． 专题： 直线与圆． 分析： 设点B（3，4）关于直线l：3x﹣y﹣1=0的对称点为B′（a，b），可得，解得a，b，则|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|． 解答： 设点B（3，4）关于直线l：3x﹣y﹣1=0的对称点为B′（a，b）， 则， 解得a=，b=，∴B′． ∴|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|==． 点评： 本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题． 15. 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据， 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由其散点图知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋a，则a＝________.         参考答案： 5.25 16. 已知，动点M满足，且，则在方向上的投影的取值范围是          ． 参考答案： 17. 给出下列角的范围:①(0,);②(,π);③(,);④(-,);⑤(-,).当x∈____________(填序号)，函数y==2cosx. 参考答案：  ④ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分16分：4+6+8） 已知函数. a为实数，且，记由所有组成的数集为E. （1）已知，求； （2）对任意的，恒成立，求a的取值范围； （3）若，，判断数集E中是否存在最大的项？若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由. 参考答案： （1）；（2）；（3）见解析 解析：（1）已知，， 解得 （2）对任意的，恒成立， 函数在上是单调递减的， 所以a的取值范围是 （3） ①当时，，即， ∴数集E中的最大项为2 ②当时，在单调递减，， ，，当时，，∴ ∴ ∴数集E中的最大项为 ③当时，在单调递增，， ，， 由恒成立 ∴ ∴数集E中无最大项 综上可知，当时，数集E中的最大项为；当时，数集E中无最大项 19. 已知函数，x∈R  .求：(1)函数f(x)的最值及此时自变量x的取值  (2)求函数f(x)的单调增区间和减区间. (3) 求函数f(x)的对称轴方程和对称中心。 参考答案： 略 20. （本小题满分16分）     因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm(即=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验，一般顾客的眼睛到地面的距离(cm)在区间[140,180]内.设支架高为(0<<90)cm，=100cm,顾客可视的镜像范围为（如图所示），记的长度为(). 参考答案： (1)当=40cm时，试求关于的函数关系式和的最大值； (2)当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系(不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求的取值范围.      (1) 即 当时，是增函数，因此时，.        (2)                     对恒成立     对恒成立            ，即所求的取值范围是. 21. （本小题满分12分） 已知（）. （1）当时，求关于x的不等式的解集； （2）若f（x）是偶函数，求k的值； （3）在（2）条件下，设，若函数f(x)与g(x)的图象有公共点，求实数b的取值范围． 参考答案： 解： （1）因为 所以原不等式的解集为                        ……3分 （2）因为的定义域为且为偶函数， 所以 即 所以.                                     ……6分 （3）有（2）可得 因为函数与的图象有公共点 所以方程有根 即 有根                           ……7分 令且（）                             ……8分 方程可化为（*） 令恒过定点 ①当时，即时，（*）在上有根   （舍）；                    ……9分 ②当时，即时，（*）在上有根 因为，则（*）方程在上必有一根 故成立；                                                 ……10分 ③当时，（*）在上有根 则有                            ……11分 ④当时，（*）在上有根 则有 综上可得：的取值范围为                        ……12分   22. 已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，a，b∈R． （Ⅰ）若a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）； （Ⅱ）判断（Ⅰ）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． 参考答案： 考点： 函数单调性的性质；命题的真假判断与应用． 专题： 证明题． 分析： （I）由已知中函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，根据a+b≥0，易得a≥﹣b，且b≥﹣a，进而根据单调性的性质和不等式的性质，即可得到答案． （II）（I）中命题的逆命题为若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0，根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假． 解答： 证明：（Ⅰ）因为a+b≥0，所以a≥﹣b． 由于函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数， 所以f（a）≥f（﹣b）． 同理，f（b）≥f（﹣a）． 两式相加，得f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．…（6分） （Ⅱ）逆命题： 若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0． 用反证法证明 假设a+b＜0，那么 所以f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）． 这与f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）矛盾．故只有a+b≥0，逆命题得证． …（12分） 点评： 本题考查的知识点是函数单调性的性质，命题的真假判断与应用，其中（1）的关键是将a+b≥0，变形为a≥﹣b，且b≥﹣a，（2）的关键是根据正“难”则“反”的原则，选用反证法进行论证．