河北省邯郸市埝头乡沙路中学2023年高二数学理下学期期末试卷含解析

河北省邯郸市埝头乡沙路中学2023年高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设动直线与函数的图象分别交于点，则的最小值为（  ） A．　　   B．　    C．　　　    D． 参考答案： A 2. 已知x1，x2是函数f（x）=e﹣x﹣|ln x|的两个零点，则（　　） A． B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10 参考答案： A 【考点】函数的零点． 【分析】若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围． 【解答】解：若的两个零点， 则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标 在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示： 由图可得 即﹣1＜ln（x1?x2）＜1 即 又∵﹣lnx1＞lnx2 ∴ln（x1?x2）＜0 ∴x1?x2＜1 综上 故选A 3. 若，则下列不等式中不成立的是           （     ）     A．         B．     C．       D． 参考答案： B 略 4. （    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ．故选． 5. 若，则与的大小关系是 （    ） A．>       B．<       C．=       D．与的大小不确定 参考答案： B 6. 等差数列的前项和为，已知，，则 A． 9           B. 10          C. 20         D. 38 参考答案： B 7. 若随机事件A在一次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在一次试验发生的次数，则的最大值为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．1 参考答案： C 【考点】离散型随机变量及其分布列． 【分析】由已知得随机变量ξ的所有可能取值为0，1，且P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1﹣p，推导出 E（ξ）=p，D（ξ）=p﹣p2，从而得到=4﹣（4p+），由此利用均值定理能求出的最大值． 【解答】解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1， 并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1﹣p， 从而 E（ξ）=0×（1﹣p）+1×p=p， D（ξ）=（0﹣p）2×（1﹣p）+（1﹣p）2×p=p﹣p2， ==4﹣（4p+）， ∵0＜p＜1， ∴4p+=4， 当4p=，p=时，取“=”， ∴当p=时， 取得最大值0． 故选：C． 8. 已知平面及平面同一侧外的不共线三点A，B，C，则“A，B，C三点到平面的距离都相等”是“平面ABC∥平面”的（     ） A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分又不必要件 参考答案： C 由“平面”可以得到三点到平面的距离相等,若不共线的三点到平面的距离相等，因为 在平面 的同侧，可得 ， ，根据面面平行的判定定理可得“平面”,所以 , 平面及平面同一侧外的不共线三 点，则“三点到平面的距离都相等”是“平面平面”的充要条件，故选C.   9. 下列命题是真命题的是（   ） （1）若，则 （2）若，则 （3）函数有且仅有一个零点 （4）数列的前项和，则数列为等差数列 A．（1）（2）         B．（2）（3）       C. （2）（4）        D．（3）（4） 参考答案： B （1）错，特别，（2）对，三角函数线判断，（3）对，， 在处取得最小值（4）错，前项和含有常数项是等差数列，故选B． 10. 过抛物线C：的焦点F的直线交C于A，B两点，若，则（   ） A．2                 B．           C．4          D．5 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 用四个不同数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为，则=      . 参考答案： 2 12. 四位同学在研究函数时，分别给出下面四个结论：①函数的图象关于轴对称；② 函数的值域为 (－1,1)；③若则一定有；④若规定, ，则 对任意恒成立．你认为上述四个结论中正确的有       参考答案： ②③④ 略 13. 给定两个命题，由它们组成四个命题：“”、“”、“”、“”．其中正真命题的个数是 　　 　　　．   参考答案： ２ 略 14. 若抛物线方程为，则它的准线方程为         ． 参考答案：   15. 中，，则=      ． 参考答案： 16. 圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是             参考答案： 17. 若，则的解集为________.   参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点． （1）求证：VB∥平面MOC； （2）求证：平面MOC⊥平面VAB （3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC； （2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB （3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积． 【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点， ∴OM∥VB， ∵VB?平面MOC，OM?平面MOC， ∴VB∥平面MOC； （2）∵AC=BC，O为AB的中点， ∴OC⊥AB， ∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC， ∴OC⊥平面VAB， ∵OC?平面MOC， ∴平面MOC⊥平面VAB （3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1， ∴S△VAB=， ∵OC⊥平面VAB， ∴VC﹣VAB=?S△VAB=， ∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=． 19. （本题满分12分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线在轴上的截距为，交椭圆于A、B两个不同点. （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形. 参考答案： （1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程…………4分    （2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m  又    ∴l的方程为： 由∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ∴m的取值范围是……………8分    （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可…………9分 设   可得……………10分 而 ∴k1＋k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.…12分 20. 已知 （I）当a=2时，求曲线在点处的切线方程； （II）在处有极值，求的单调递增区间； （III）是否存在实数a，使在区间的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 参考答案： 略 21. （1）用分析法证明：; （2）如果a、b、c是不全相等的实数，若a、b、c成等差数列，用反证法证明：不成等差数列. 参考答案： （1）见解析（2）见解析 分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得显然成立，从而可得结果；（2）假设成等差数列，可得，结合可得，与是不全相等的实数矛盾，从而可得结论. 详解：（1）欲证 只需证：即 只需证：即显然结论成立 故 （2）假设成等差数列，则 由于成等差数列，得① 那么，即② 由①、②得与是不全相等的实数矛盾。 故不成等差数列。 点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词. 22. 已知双曲线的焦点在x轴上，|F1F2|=2，渐近线方程为，问：过点B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，求出a，b，可得双曲线方程；先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在两张千克设出直线l的方程，当k存在时，结合双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则根据△＞0及其P是线段AB的中点，找出矛盾，然后判断当k不存在时，直线经过点P但不满足条件，综上，符合条件的直线l不存在． 【解答】解：根据题意，c=， =， ∴a=1，b=，∴双曲线的方程是： =1． 过点P（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1或x=1 ①当k存在时，联立方程可得（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3=0    当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 △=（2k2﹣2k）2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+2k﹣3）＞0，k＜， 又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标 ∴x1+x2=， 又∵P（1，1）是线段AB的中点， ∴=2，解得k=2． ∴k=2，使2﹣k2≠0但使△＜0 因此当k=2时，方程（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3=0 无实数解 故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在． ②当x=1时，直线经过点P但不满足条件， 综上所述，符合条件的直线l不存在． 【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，考查双曲线的性质的运用，考查学生的运算能力，属于中档题．