2021年山东省临沂市南乡中心中学高三数学理月考试卷含解析

2021年山东省临沂市南乡中心中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知角A是△ABC的一个内角，若sin A＋cos A＝，则tan A等于 (　　)     A．  B－  C．  D.－ 参考答案： D 2. 给出下列的四个式子：①，②，③，④；已知其中至少有两个式子的值与的值相等，则（   ）        A．                              B．         C．                                D．         解析：时，式子①③与的值相等，故选A．   参考答案： A 略 3. “”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 4. 函数y=的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】3O：函数的图象． 【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可． 【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A． 当x→﹣∞时，y→+∞，排除B， 当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D， 故选：C 5. 在长为的线段上任取一点，以为邻边作一矩形，则矩形面积小于的概率为（    ） A．     B．     C．     D． 参考答案： B 略 6. 已知全集，关于的不等式：的解集为，关于的不等式：的解集为，则，的充要条件是 (A)或.                          (B). (C).                                 (D). 参考答案： D 略 7. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，则（?UA）∩B为（　　） A．{0，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4} 参考答案： A 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【分析】由全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可 【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}， ∴?UA={0，4}， 则（?UA）∩B={0，4}． 故选：A 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 8. 设函数，若则（    ） A.       B.       C.       D. 参考答案： D 略 9. 已知是虚数单位，则等于（    ） A．   B．   C．      D． 参考答案： A 略 10. 已知数列．若（），（），则能使成立的的值可能是        （A）14                      （B）15                       （C）16　           （D）17 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.    给出下列四个命题： ①命题“”的否定是“”； ②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强； ③若，则不等式成立的概率是；  ④设是方程的解，则属于区间 (2，3 ). 其中真命题的序号是                。（填上所有真命题的序号） 参考答案： 答案：②④ 12. 已知恒成立，则实数m的取值范围是      。 参考答案： 13. 函数的最大值是3，则它的最小值______▲________ 参考答案： -1, 14. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是          元. 参考答案： 2100000   15. 点在不等式组 表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则 参考答案： 做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知点D到直线的距离最大，此时，解得。 16. 如右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是            ； 参考答案： 17. 已知函数f（x）=|lgx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），则的最小值等于　　． 参考答案： 【考点】基本不等式；对数函数的图象与性质． 【分析】根据对数函数的性质，求出ab=1，然后利用基本不等式求的最小值． 【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，若f（a）=f（b），a＞b＞0， 则0＜b＜1，a＞1， 则f（a）=|lga|=lga，f（b）=|lgb|=﹣lgb， ∵f（a）=f（b）， ∴lga=﹣lgb， 即lga+lgb=lgab=0， 解得ab=1． ∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0 ∴==， 当且仅当，即a﹣b=时取等号． 故的最小值等于． 故答案为：． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用对数函数的图象和性质求出ab=1是解决本题的关键，注意基本不等式成立的条件． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）（2015?钦州模拟）已知递增的等比数列{an}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列． （1）求等比数列{an}的通项公式； （2）记bn=an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式． 【专题】： 等差数列与等比数列． 【分析】： （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； （2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出． 解：（1）设等比数列前三项分别为a1，a2，a3， 则a1+1、a2+2、a3+2又成等差数列．依题意得：， 即， 解之得，或（数列{an}为递增等比数列，舍去）， ∴数列{an}的通项公式：． （2）由bn=an+2n得，， ∴Tn=b1+b2+…+bn=（20+2×1）+（21+2×2）+（22+2×3）+…+（2n﹣1+2n） =（20+21+22+…+2n﹣1）+2（1+2+3+…+n） =． 【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．   （1）求证：FG//平面PBD； （2）求证：BD⊥FG． 参考答案： 证明：（Ⅰ）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点， ， ……3分 又平面，平面，所以平面     ……7分 （II）因为菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以， 因为平面，平面，且，平面， 平面，BD⊥FG                    ……14分 20. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为中点，，，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案： （Ⅰ）设与的交点为，连结. 因为为矩形，所以为的中点. 在中，由已知为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. （Ⅱ）在中，，， 所以， 即. 因为平面平面， 平面平面，， 所以平面，故. 又因为，平面，所以平面， 故就是直线与平面所成的角. 在直角中，， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 21. 已知（其中）的最小正周期为. (1)    求的单调递增区间; (2)    在中,分别是角的对边,已知求角. 参考答案： 解:(1)                                          …………2分                                                                …………4分 故递增区间为                        …………6分 (2) 即或 又故舍去，.                     …………9分 由得或, 若,则. 若,则.                                          …………12分 注意：没有说明 ""扣两分 略 22. （14分）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11． （1）求a1的值； （2）求数列{an}的前n项和Sn； （3）设数列{bn}满足bn=，求证：b1+b2+…+bn＜． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1． （2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），从而得到数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列，由此能求出数列{an}的前n项和Sn． （3）由=（），由此能证明b1+b2+…+bn＜． 【解答】解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11． ∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1）， ∵a2=11，解得a1=5． （2）当n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1， 得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）， ∴（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=6（n﹣1）， ∴an﹣an﹣1=6，n≥2，n∈N*， ∴数列{an}是首项a1=5，公差为6的等差数列， ∴an=a1+6（n﹣1）=6n﹣1， ∴． （3）证明：∵ =， ∴（13分） =， ∴b1+b2+…+bn＜．（14分） 【点评】本题考查数列的首项的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和放缩法的合理运用．