2021年河北省石家庄市北防口中学高三数学理联考试题含解析

2021年河北省石家庄市北防口中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在等比数列中，若，则               (      )    A．         B．3            C ．        D ．9 参考答案： B 略 2. 已知三棱柱的侧棱在下底面的射影 与平行,若与底面所成角为,且, 则的余弦值为     A.       B.       C.       D. 参考答案： C 略 3. 函数的定义域是         （     ） A.    B.     C.       D. 参考答案： A 4. 对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (    ) A． B. C.     D. 参考答案： 【知识点】抽象函数及其应用． A 解：对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0， 选项B、C、D函数没有对称轴；函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项A正确． 故选：A． 【思路点拨】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后依次判断选项即可． 5. 、分别为抛物线上不同的两点，为焦点，若，则（    ） A．      B．      C．      D． 参考答案： A 考点：抛物线的定义． 【名师点睛】涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离与点到准线的距离根据题设条件相互转化，对抛物线上的点来讲，其焦半径为． 6. 已知对数函数f（x）=logax是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： B 考点： 对数函数的图像与性质；函数的图象与图象变化．3794729 专题： 数形结合． 分析： 先导出再由函数f（x）=logax是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断． 解答： 解： 由函数f（x）=logax是增函数知，a＞1． 故选B． 点评： 本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力．这类试题经常出现，要高度重视． 7. 在等比数列{}中，若是方程则=（      ）    A.          B .-     C.       D. 3 参考答案： C 略 8. 设,则“”是“”成立的 A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件   C.充要条件   D.既不充分又不必要条件 参考答案： A 略 9. 在等比数列中，，则公比等于（   ） A.2           B.－2         C.           D. 参考答案： C 10. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为 (    ) A．1007        B．1008        C．2013        D．2014 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是定义在R上的奇函数，且满足，，则实数的取值范围是 参考答案： 12. 若的展开式中的项大于，且为等比数列的公比， 则        . 参考答案： 1 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【试题分析】的展开式中第项为，令得，所以展开式的第2项为，，因为为等比数列的公比，所以 =. 13. 在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则         . 参考答案： 略 14. 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线（t为参数）截圆－3＝0的弦长为＿＿＿＿ 参考答案： 4 15. 函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点　　　　. 参考答案： 略 16. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若，，则的值为_____． 参考答案： 【分析】 先由可求出，再由因式分解可求出d，然后求出，套公式即可求出 【详解】解：因 所以 又因为 所以 所以， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查了等差数列的性质，等差数列前n项和，属于基础题. 17. 将函数的图象先向左平移个单位，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为   ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，半径为1的半圆O上有一动点B，MN为直径，A为半径ON延长线上的一点，且OA=2，∠AOB的角平分线交半圆于点C． （1）若，求cos∠AOC的值； （2）若A，B，C三点共线，求线段AC的长． 参考答案： 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）若，利用向量的数量积公式，即可求cos∠AOC的值； （2）若A，B，C三点共线，可得，利用余弦定理，即可求线段AC的长． 【解答】解：（1）设∠AOC=θ，，∴ =4+1×2×cos（π﹣2θ）+1×2×cos（π﹣θ）+cosθ =﹣4cos2θ﹣cosθ+6 ∴﹣4cos2θ﹣cosθ+6=3，∴（舍去） （2）A，B，C三点共线， 所以∴ ∴AC2=1+4﹣2×1×2×cosθ=2，∴． 19. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立． （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 参考答案： (1) (2)分布列见解析， 【分析】 （1）对于第一种情况，先从这批产品中任取四个产品，求出三个为优质品的概率，那么需要再从该类产品中抽取四个产品，再求出四个都未为优质品的概率；对于第二种情况，求出第一次取出的四件产品都为优质品的概率以及第二次取出的一件产品为优质品的概率，则根据独立事件与互斥事件的概率公式可得结果；（2）若对该产品进行检验，最后花费的检验费用有三种情况，即为400元，500元或800元，可分别根据题目条件求随机变量对应的概率，利用期望公式求出所需花费费用的数学期望. 【详解】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件， 第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 所以 （2）可能的取值为400，500，800，并且，， ，故的分布列如下： 400 500 800     故 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 20. （16分）已知函数f（x）=loga，（a＞0，且a≠1）． （1）求函数的定义域，并证明：f（x）=loga在定义域上是奇函数； （2）对于x∈[2，4]，f（x）=loga＞loga恒成立，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）由＞0解得定义域，在定义域范围内考察f（﹣x）=﹣f（x）成立． （2）根据对数的性质，转化为真数大小关系恒成立，再利用分离参数法求m范围． 【解答】解（1）由＞0，解得x＜﹣1或x＞1， ∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f（﹣x）=loga=loga=﹣loga=﹣f（x）， ∴f（x）=loga在定义域上是奇函数． （2）由x∈[2，4]时，f（x）=loga＞loga恒成立， ①当a＞1时， ∴＞对x∈[2，4]恒成立． ∴0＜m＜（x+1）（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，4]恒成立． 设g（x）=（x+1）（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，4] 则g（x）=﹣x3+7x2+x﹣7， g′（x）=﹣3x2+14x+1， ∴当x∈[2，4]时，g′（x）＞0． ∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）min=g（2）=15． ∴0＜m＜15． ②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时， f（x）=loga＞loga恒成立 ∴＜对x∈[2，4]恒成立． ∴m＞（x+1）（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，4]恒成立． 设g（x）=（x+1）（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，4]， 由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数， g（x）max=g（4）=45，∴m＞45． ∴m的取值范围是（0，15）∪（45，+∞）． 【点评】本题考查了函数奇偶性的判定，不等式恒成立问题，函数最值求解，考查运算求解能力． 21. 已知，且. （Ⅰ）在锐角中，分别是角的对边，且,的面积为，当时，,求的值. （Ⅱ）若时，的最大值为（为数列的通项公式），又数列满足，求数列的前项和． 参考答案： 解（Ⅰ），              ，………………2分 当时，由得：， ∴，又是锐角三角形，∴ ∴即，………………4分 又由得：，………………5分 由余弦定理得：∴…7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： 由，可得：， 当即时， 此时，∴取最大值为，………………10分 又            ………………13分     略 22. 已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点． （Ⅰ）若，求直线AB的斜率； （Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率． 【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率． （Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值． 【解答】（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．            …（1分） 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0． …（3分） 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 y1+y2=4m，y1y2=﹣4． ①…（4分） 因为， 所以 y1=﹣2y2．    ②… 联立①和②，消去y1，y2，得． …（6分） 所以直线AB的斜率是．     …（7分） （Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，