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1、数字图像处理基础频域处理Kunming University of Science and Technology内 容v一维离散傅立叶变换及其反变换v二维离散傅立叶变换及其反变换v傅里叶变换的性质v频域滤波图像平滑图像锐化Kunming University of Science and TechnologyJean Baptiste Joseph Fourierv法国数学家傅立叶法国数学家傅立叶(生于生于1768年年)在在1822年出版的年出版的热分析理论热分析理论一书中一书中指出指出:任何周期函数都可以表达为不同任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式频率的正弦和或余弦和的形
2、式,即傅立即傅立叶级数。叶级数。v20世纪世纪50年代后期年代后期,快速傅立叶变换快速傅立叶变换算法出现算法出现,得到了广泛的应用。得到了广泛的应用。Kunming University of Science and TechnologyThe Big Idea=任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and Technology一维离散傅立叶变换及其反变换v离散函数f(x
3、)(其中x=0,1,2,M-1)的傅立叶变换:v傅立叶变换是可逆的，F(u)的反变换的反变换:Kunming University of Science and Technology一维离散傅立叶变换及其反变换(cont)观察傅立叶反变换由欧拉公式则即，空域函数f(x)可表示为M个正弦(余弦)函数的累加，F(u)/M为对应频率分量的幅度(系数),因此，F(u) 覆盖的域(u值) 称为频率域。从另一角度,空域函数f(x)被表示为直流分量和交流分量F(0)/M对应的是直流分量的幅值,其余F(u)/M对应交流分量的幅值。Kunming University of Science and Techno
4、logy傅立叶变换的意义傅立叶变换可以看作数学的棱镜,将函数基于频率分成不同成分.当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。这是属于线性滤波核心的重要概念。Kunming University of Science and Technology二维离散傅立叶变换Discrete Fourier Transform (DFT)一个图像尺寸为MN的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v): (x = 0, 1, 2M-1 and y = 0,1,2N-1)for u = 0, 1, 2M-1 and v = 0, 1, 2N-1.Kunming
5、University of Science and TechnologyDFT & Images二维图像的DFT结果可由图像各频率成分的频谱图展示Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)DFTKunming University of Science and TechnologyDFT & ImagesImages taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and
6、TechnologyDFT & ImagesImages taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and TechnologyDFT & Images (cont)Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)DFTScanning electron microscope image of an integrated circuit magnified 2500 tim
7、esFourier spectrum of the imageKunming University of Science and TechnologyDFT & Images (cont)Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and TechnologyDFT & Images (cont)Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming U
8、niversity of Science and Technology二维 DFT反变换二维离散傅立叶逆变换:for x = 0, 1, 2M-1 and y = 0, 1, 2N-1Kunming University of Science and Technology二维 DFT反变换(cont)v(u,v)=(0,0)位置的傅里叶变换值为位置的傅里叶变换值为即图像即图像f(x,y) 各像素灰度级的和，各像素灰度级的和，F(0,0) /MN即即为图像灰度的均值。为图像灰度的均值。F(0,0) 称为频率谱的直流分称为频率谱的直流分量量(系数系数)，其它其它F(u,v) 值称为交流分量值称为交
9、流分量(交流系数交流系数)。Kunming University of Science and Technology二维DFT的极坐标表示 频率谱 相位谱 功率谱 Kunming University of Science and Technology二维傅里叶变换的性质v周期性周期性 傅里叶级数傅里叶级数(DFS)有周期性有周期性MN，反变换也是周期性的。，反变换也是周期性的。DFT 是其中的一个周期。是其中的一个周期。Kunming University of Science and Technology二维DFT傅里叶变换的性质v平移特性平移特性当当u0=M/2, v0=N/2时时通常在
10、变换前用通常在变换前用(-1)x+y 乘以输入图像函数，实现频域中乘以输入图像函数，实现频域中心化变换：心化变换： Kunming University of Science and TechnologyKunming University of Science and Technology频率域的基本性质频率域的基本性质 频率域的基本性质：频率域的基本性质：频域的中心邻域对应图像频域的中心邻域对应图像中慢变化部分，较高的频率开始对应图像中变中慢变化部分，较高的频率开始对应图像中变化较快的部分化较快的部分（如：物体的边缘、线条等）。（如：物体的边缘、线条等）。Matlab示例：示例：examp
11、le4_0.mKunming University of Science and Technology频域滤波v卷积定理：卷积定理： v空间域的乘法对应频域卷积空间域的乘法对应频域卷积Kunming University of Science and Technology频域滤波的折叠误差干扰v使用DFT进行滤波操作，图像及其变换均视为周期性的。v若周期关于函数的非零部分持续时间很靠近，则对周期函数执行卷积运算会导致相邻周期间的干扰折叠误差干扰。v通过使用零填充函数的方法避免折叠误差干扰。vMatlab示例：example4_1.mKunming University of Science a
12、nd Technology频域滤波的步骤1.计算图像的离散傅立叶变换F(u,v)2.用滤波函数 H(u,v) 乘以F(u,v) 3.计算乘积的离散傅立叶反变换Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and Technology一些基本的频域滤波器Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Low Pass FilterHigh Pass FilterKu
13、nming University of Science and Technology低通滤波器滤波结果Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and Technology高通滤波器滤波结果Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and Technology频域平滑滤波器通过过滤掉频域的高频成
14、分达到平滑目的滤波的基本模型:G(u,v) = H(u,v)F(u,v)其中 F(u,v) 是图像的傅立叶变换结果， H(u,v) 称为滤波器传输函数低通滤波器（Low pass filters） 仅保留低频分量而过滤掉高频分量。Kunming University of Science and Technology理想低通滤波器将频域中所有与原点的距离超过D0的高频分量截取掉改变距离D0将改变滤波器滤波效果Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Scien
15、ce and Technology理想低通滤波器(cont)理想低通滤波器的传输函数:其中D(u,v) 为:Kunming University of Science and Technology理想低通滤波器(cont)左图为原始图像, 右图为其傅立叶变换结果，并在其上绘出半径分别为5, 15, 30, 80 和 230 的低通滤波器。Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and Technology理想低通滤波器(cont)Images
16、 taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and Technology理想低通滤波器(cont)Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)Kunming University of Science and Technology理想低通滤波器(cont)Images taken from Gonzalez & Woods, Digital Image Processing (2002)OriginalimageResult of filtering with ideal low pass filter of radius 5Result of filtering with ideal low pass filter of radius 30Result of filtering with ideal low pass filter of radius 230R
