《2022年高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数及其应用一，学问网络二，高考考点1，导数定义的认知与应用.2，求导公式与运算法就的运用.3，导数的几何意义.4，导数在争辩函数单调性上的应用.5，导数在寻求函数的极值或最值的应用.6，导数在解决实际问题中的应用.三，学问要点（一）导数1，导数的概念（ 1）导数的定义（）设函数在点及其邻近有定义,当自变量x 在处有增量 x（ x 可正可负）,就函数 y 相应地有增量,这两个增量的比,叫做函数在点到这间的平均变化率.假如时,有极限,就说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作,即可编辑资料 - - - 欢迎下载.（）假如函数在开区间（）内每一点都可导,就说在开区间（）内可
2、导,此时, 对于开区间（）内每一个确定的值,都对应着一个确定的导数,这样在开区间（）内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间 （）内的导函数 （简称导数） ,记作或,即.认知：（）函数的导数是以 x 为自变量的函数,而函数在点处的导数是一个数值.在点处的导数是的导函数当时的函数值.（）求函数在点处的导数的三部曲：求函数的增量.求平均变化率.求极限上述三部曲可简记为一差，二比，三极限.（ 2）导数的几何意义：函数在点处的导数,是曲线在点处的切线的斜率.（ 3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区分：（）如函数在点处可导,就在点处连续.如函数在开区间（）内可导,就在开区间（
3、）内连续（可导确定连续）.事实上,如函数在点处可导,就有此时,可编辑资料 - - - 欢迎下载记, 就有即在点处连续.（）如函数在点处连续,但在点处不愿定可导（连续不愿定可导）.反例：在点处连续,但在点处无导数.事实上,在点处的增量当时,.当时,由此可知,不存在,故在点处不行导.2，求导公式与求导运算法就（ 1）基本函数的导数（求导公式）公式 1常数的导数：（ c 为常数）,即常数的导数等于0.公式 2幂函数的导数：.公式 3正弦函数的导数：.公式 4余弦函数的导数：公式 5对数函数的导数：（）.可编辑资料 - - - 欢迎下载（）公式 6指数函数的导数：（）.（）.（ 2）可导函数四就运算的
4、求导法就设为可导函数,就有法就 1.法就 2.法就 3.3，复合函数的导数（ 1）复合函数的求导法就设,复合成以x 为自变量的函数,就复合函数对自变量x的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量u 对自变量x 的导数,即.引申：设,复合成函数,就有（ 2）认知（）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的次序,即从外向内分析：第一由最外层的主体函数结构设出,由第一层中间变量的函数结构设出,由其次层中间变量的函数结构设出,由此一层一层分析,始终到最里层的中间变量为自变量x 的简洁函数为止.于是所给函数便“分解”为如干相互联系的简洁函数的链条：.（）运用上述法就求复合函数导数的解题思路分解：
5、分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的如干简洁函数.求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法就和基本公式求.可编辑资料 - - - 欢迎下载仍原：将上述求导后所得结果中的中间变量仍原为自变量的函数,并作以适当化简或整理.二，导数的应用1，函数的单调性（ 1）导数的符号与函数的单调性：一般地,设函数在某个区间内可导,就如为增函数.如为减函数.如在某个区间内恒有,就在这一区间上为常函数.（ 2）利用导数求函数单调性的步骤（）确定函数的定义域.（）求导数.（）令,解出相应的x 的范畴当时,在相应区间上为增函数.当时在相应区间上为减函数.（ 3）强
6、调与认知（）利用导数争辩函数的单调区间,第一要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D.如由不等式确定的 x 的取值集合为A,由确定的 x 的取值范畴为B,就应用.（）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件.因此方程的根不愿定是增，减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定的根之外,仍要留意在定义域内的不连续点和不行导点,它们也可能是增，减区间的分界点.举例：（ 1）是 R 上的可导函数,也是R 上的单调函数,但是当x=0 时,.（ 2）在点 x=0 处连续,点x=0 处不行导,但在（ - , 0）内递减,在（0,+）内递增.2，
7、函数的极值（ 1）函数的极值的定义设函数在点邻近有定义,假如对邻近的全部点,都有,就说是函数的一个极大值,记作.可编辑资料 - - - 欢迎下载假如对邻近的全部点,都有,就说是函数的一个微小值,记作.极大值与微小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（）函数的极值点是区间内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得.（）极值是一个局部性概念.一个函数在其定义域内可以有多个极大值和微小值,并且在某一点的微小值有可能大于另一点处的极大值.（）当函数在区间上连续且有有限个极值点时,函数在内的极大值点,微小值点交替显现.（ 2）函数的极值的判定设函数可导,且在点处连续,判定是极大（小）值的方法是
8、（）假如在点邻近的左侧,右侧,就为极大值.（）假如在点邻近的左侧,右侧,就为微小值.留意：导数为0 的不愿定是极值点,我们不难从函数的导数争辩中悟出这一点.（ 3）探求函数极值的步骤：（）求导数.（）求方程的实根及不存在的点.考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：如左正右负, 就在这一点取得极大值,如左负右正,就在这一点取得微小值.3，函数的最大值与最小值（ 1）定理如函数在闭区间上连续,就在上必有最大值和最小值.在开区间内连续的函数不愿定有最大值与最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载认知：（）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上全部函数值
9、中的最大值.最小值是函数在整个定义区间上全部函数值中的最小值.（）函数的极大值与微小值是比较极值点邻近的函数值得出的（具有相对性）,极值只能在区间内点取得.函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有确定性）,最大（小）值可能是某个极大（小）值,也可能是区间端点处的函数值.（）如在开区间内可导,且有唯独的极大（小）值,就这一极大（小）值即为最大（小）值.（ 2）探求步骤：设函数在上连续,在内可导,就探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（ I）求在内的极值.（ II）求在定义区间端点处的函数值,.（ III）将的各极值与,比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.引申
10、：如函数在上连续,就的极值或最值也可能在不行导的点处取得.对此,假如仅仅是求函数的最值,就可将上述步骤简化：（ I）求出的导数为0 的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）.（ II）运算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值.（ 3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为：（ I）认知，立式：分析，认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系.（ II）探求最值：立足函数的定义域,探求函数的最值.（ III）检验，作答：利用实际意义检查（2）的结果,并回答所提出的问题,特别地,假如所得函数在
11、区间内只有一个点中意,并且在点处有极大（小）值,而所给实际问题又必有最大（小）值,那么上述极大（小）值便是最大（小）值.四，经典例题例 1，设函数在点处可导,且,试求可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）.（ 2）.（ 3）.（ 4）（为常数）.解：留意到当）（ 1）.（ 2）=A+A=2A（ 3）令,就当时,（ 4）可编辑资料 - - - 欢迎下载点评： 留意的本质, 在这确定义中,自变量x 在处的增量的形式是多种多样的,但是,不论选择哪一种形式,相应的也必需选择相应的形式,这种步调的一样是求值成功的保证.如自变量x 在处的增量为,就相应的,于是有.如令,就又有例 2，（ 1）已知,求.（ 2）已知,求解：（ 1）令,就,且当时,.留意到这里（ 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载留意到,由已知得由，得例 3，求以下函数的导数（ 1）.（ 2）.（ 3）.（ 4）.（ 5）.（ 6）解：（ 1）（ 2）,（ 3）,可
