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1、对数函数的图象和性质教学设计 教学目标1能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点2结合对数函数图象与性质的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升直观想象核心素养3知道对数函数与指数函数互为反函数（a0，且a1） 教学重难点教学重点：对数函数的图象和性质教学难点：根据图象抽象概括出对数函数的性质，知道互为反函数的两个函数的关系 课前准备PPT课件，计算器，GGB课件 教学过程（一）整体感知，明确任务引导语：对于具体的函数，我们一般按照“背景概念图象和性质应用”的路径进行研究前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了对数函数的概念，接下来就要
2、研究它的图象和性质，并灵活应用类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，我们应该如何研究对数函数的图象和性质？需要研究对数函数的哪些性质？师生活动：以学生为主，师生一起回忆指数函数的学习，研究对数函数的图象和性质的方法和内容预设的答案：由于有了指数函数的学习经历，所以需要考虑不同的底数a对函数的影响类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，首先要作出对数函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象按照函数研究的一般过程，需要研究对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性另外，由于对数函数和指数函数密切相关，而指数函数过定点(0，1)，所以对数函数也可能会过某个定点
3、最后，我们还需要考察对数函数与指数函数是否有什么特殊的关系设计意图：通过回顾研究指数函数图象和性质的方法和内容，研究对数函数的图象和性质的方法和内容，明确本节课研究的重点，并引出问题1（二）新知探究1研究对数函数的图象和性质问题1：首先画出对数函数的图象，我们先从简单的函数开始描点法画图的步骤是什么？请同学们利用计算器完成x，y的对应值表1，并用描点法画出函数的图象师生活动：学生独立完成后展示交流，全班师生形成共识即可预设的答案：描点法的步骤：列表描点画图。完成的表1，和画出的函数的图象（图1）如下表1xy0.5-110214262.683123.6164设计意图：从一个具体的简单的对数函数开
4、始进行研究，巩固描点法，为后续的研究作好铺垫问题2：在4.2.2中研究指数函数的图象和性质时，我们知道了底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称那么对于底数互为倒数的两个对数函数，比如和，它们的图象是否也有某种对称关系呢？用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数的图象，并与函数的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图象，画出函数的图象？师生活动：学生先用描点法画出函数的图象，通过观察作出猜想然后教师引导学生从对数的运算性质考虑分析预设的答案：利用换底公式，可以得到因为点(x，y)与点(x，-y)关于x轴对称，所以图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，-y)都在函数的图
5、象上，反之亦然由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象如图2所示设计意图：通过探究，让学生体会到可以用已知函数的图象和对称性来作新函数的图象，并从中学习用联系的观点看问题，以及通过逻辑推理获得数学结论的思维方式另外，这样探究还便于将对数函数分为0a1和a1两类，从而分别对两类图象的共同特点进行归纳由于对指数函数有过类似的探究，这里引入函数就不会再显得不够自然了问题3：为了得到对数函数(a0，且a1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察选取底数a(a0，且a1)的若干个不同的值，例如，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图
6、象观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？对数函数是否也像指数函数一样，过某个定点？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出对数函数(a0，且a1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等师生活动：在已经画出和的图象的基础上，学生利用计算器可以画出这些函数的图象教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第二课时-不同底数的对数函数图象”，并演示动画效果，得到a取任意值时函数的大量图象学生根据这些图象直观地归纳出他们的共同特点，教师予以补充完善，并引导学生进行规范：要将对数函数分为0a1和a1两类进行讨论预设的答案：选取底数a的若干值，例如，利用信息技术画出图象，如图3发现对数函数的
7、图象按底数a的取值，可分为0a1和a1两种类型因此对数函数的性质也可以分0a1和a1两种情况进行研究，设计的表格如表2 表20a1a1图象定义域(0，+)值域R性质（1）过定点(1，0)，即x=1时，y=0（2）减函数（2）增函数（3）非奇非偶函数，即无奇偶性设计意图：利用GGB动画演示能便捷地做出大量图象，易于归纳，底数a的取值自然地变化，所作函数的图象也自然地产生了，而非事先规定的由于指数函数有过类似的探究，这里要将对数函数分为0a1和a1两类来讨论，对学生来说就很容易了在此过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助教”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为
8、函数性质，达到提升学生直观想象核心素养的目的2对数函数的应用例3 比较下列各题中两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9 (a0，且a1)师生活动：学生独立完成后展示交流师生总结求解要点：每一组中的两个值都可以看作同一个对数函数的函数值，从而利用对数函数的单调性进行比较对于（1）（2），两个值可以看作一个确定的对数函数的两个函数值，直接利用其单调性进行比较对于（3），由于底数a的取值为a0，且a1，所以需要分情况a是大于1还是小于1，进行讨论，再利用单调性进行比较预设的答案：解：（1）log23.4和
9、log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值因为底数21，对数函数y=log2x是增函数，且3.48.5，所以log23.4log28.5（2）log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值因为底数0.31，对数函数y=log0.3x是减函数，且1.82.7，所以log0.31.8log0.32.7（3）loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论当a1时，因为函数y=logax是增函数，且5.15.9，所以loga5.1loga5.9；当0a1时，因为函数y=l
10、ogax是减函数，且5.15.9，所以loga5.1loga5.9设计意图：利用对数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的对数函数学生能够进一步熟悉对数函数的性质，并形成用函数观点解决问题的意识例4 溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过pH计量的pH的计算公式为pH=-lgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为H+=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH追问：本题的依据是什么？师生活动：首先由教师引导学生对问题进行分析：根据对数的运算性质对pH的计
11、算公式进行变形，然后根据对数函数的单调性，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系，并计算出纯净水的pH然后由学生独立完成后展示交流预设的答案：解：（1）根据对数的运算性质，有在(0，+)上，随着H+的增大，减小，相应地也减小，即pH减小所以，随着H+的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强（2）当H+=10-7时，pH=-lg10-7=7所以，纯净水的pH是7设计意图：利用对数函数的概念和性质解决问题，让学生进一步熟悉对数函数的性质，并促使学生形成用函数观点解决问题的意识追问：胃酸中氢离子的浓度是2.510-2摩尔/升，胃酸的pH是多少？师生活动：学生利用计算器自
12、行完成预设的答案：pH=-lg(2.510-2)1.6，所以胃酸的pH大约是1.63指数函数与对数函数形成对比，得到反函数定义问题4：前面根据指数与对数间的关系，由(x0)得到(0y1)由函数定义可知，y(0，1是一个函数通常我们 x表示自变量，y表示函数，为此可以把改写成，x(0，1这样，由指数函数，x0，+)可得到对数函数，x(0，1研究这两个函数的相关性，从函数的三要素：定义域、对应关系、值域来考虑，你能发现它们有什么特殊关系吗？师生活动：在学习对数函数的概念时，已经从图象直观和函数定义两个方面说明了指数函数与对数函数的关系，所以学生应该能够独立想到解答，教师予以补充完善即可预设的答案：
13、从定义域和值域来看，对数函数的定义域(0，1、值域0，+)分别是指数函数的值域和定义域函数的对应关系，实际上是对定义域中的数进行某种代数运算变化，变成值域中的数所以从对应关系来看，对数函数进行的是底数为的对数运算，指数函数进行的是底数也为的指数幂运算，这两种运算变化互为逆运算教师讲解：像指数函数，x0，+)和对数函数，x(0，1这样，根据运算性质可以由一个推导出另外一个，并且一个函数的定义域和值域分别是另外一个函数的值域和定义域的，我们就称它们互为反函数这样，对数函数，x(0，1是指数函数，x0，+)的反函数同时，指数函数，x0，+)也是对数函数，x(0，1的反函数，它们的定义域与值域正好互换
14、从定义上，互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换，运算变化过程正好互逆，这是一种对称性设计意图：通过两个具体的指数函数与对数函数的对比，说明它们互为反函数，明确反函数的定义，并从函数的三要素得出反函数的对称性*（选学）追问：对于一般的指数函数y=ax (a0，且a1)与对数函数y=logax (a0，且a1)，我们知道，它们互为反函数那么它们的图象间有什么关系？在同一直角坐标系中，任意选取某个a (a0，且a1)，画出指数函数y=ax及其反函数y=logax的图象这两个函数的图象有什么对称关系？它们是关于什么对称的师生活动：教师引导学生，由于底数a的选取不同，指数函数和对数函数的图象也有很大差别，所以要将底数分为0a1和a1两类进行讨论预设的答案：根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究，应当分为0a1和a1的情况讨论分别选取和为例，在同一直角坐标系中，画出相应的函数图象，如图4从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象关于直线y=x对称一个函数图象上的任意一点关于y=x的对称点，一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性设计意图：从函数的图象建立关联，进一步认识反函数的对称性（三）归纳小结，布置作业问题5：本节课研究对数函数的图象和性质的方法是什么？从哪几方面概括了对数函数的性质？分别是什么？互为反函数的指数函数和对数函数有哪些对称
