单击此处编辑母版标题样式,质点运动微分方程,质点运动微分方程,9.1 动力学的基本定律,9.2 质点运动微分方程及应用,思 考 题,9.1 动力学的基本定律,1.牛顿第一定律,质点如果不受力的作用,将保持原来静止或匀速直线运动状态该定律也称为惯性定律,质点具有的保持原有状态不变的属性称为惯性该定律还表明若要改变物体的运动状态,必须有力的作用,即力是改变物体运动状态的原因2.牛顿第二定律,质点在力的作用下所获得的加速度的大小与力的大小成正比,与质点的质量成反比,方向与力的方向相同用方程表示为或,式(9-1)表明在作用力相同的情况下,质点的质量愈大,获得的加速度愈小,惯性就愈大,反之亦然质量是质点惯性的度量质量是物体的固有属性,质量和重量是两个不同的概念质量是物体惯性的度量,而重量只有在地球的引力场内才有意义,它是指地球对物体引力的大小如果我们说一个物体的重量为,P,它的重力加速度为,g,由公式(9-1)有,在古典力学中,质量被认为是常量,与质点的运动无关,即使脱离了地球的引力场,在重量不存在的情况下,质量还是存在的而且物体重量在不同的地域有不同的值,因为在不同的地域重力加速度是不同的,但一般取重力加速度,g,值为9.8m/s2。
在国际单位制(SI)中,长度、质量和时间是基本单位,分别取为 m(米)、kg(千克)和s(秒);力的单位是导出单位当质量为1kg的质点获得1m/s2 的加速度时,作用于该质点上的力为,3.牛顿第三定律,两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等,方向相反,沿同一条直线并且分别作用在两个物体上此定律也称为作用与反作用定律,适用于静止的物体,同样也适用于运动的物体牛顿定理适用的参考系称为惯性坐标系在一般工程问题中,将固定于地球表面的坐标系或相对于地面做匀速直线运动(平移运动)的坐标系作为惯性坐标系,可以得到符合实际的精确结果在本书中,如无特别说明,均采用固定在地球表面坐标系动力学也称古典力学,只有当所研究的宏观物体的运动速度小于光速时,古典力学才适用一般工程问题中所研究的是宏观物体的运动,且要求物体的运动速度远远小于光速因此,应用古典力学所得到的结果都是精确的9.2 质点运动微分方程及应用,设质点,M,的质量为,m,受,n,个力,F,1,F,2,F,n,作用由质点动力学的基本方程式(9-1),有,该式是矢量形式的质点运动微分方程1.质点运动微分方程的直角坐标形式,取坐标系,Oxyz,如图9-1所示。
将式(9-3)分别向,x,y,z,轴投影,得,图9-1,2.质点运动微分方程的自然坐标形式,由运动学可知,点的运动轨迹已知时,用弧坐标来描述质点的运动较为方便设质点做平面曲线运动,相应地把动力学基本方程向质点运动轨迹的切线与法线方向投影,即可得到质点运动微分方程的自然坐标形式:,3.质点动力学的两类基本问题,应用质点运动的微分方程,可以求解质点动力学的两类基本问题1)已知质点的运动,求作用于质点的力对于这类基本问题,只需对质点已知的运动方程求两次导数,得到质点的运动加速度,代入质点的运动微分方程,即可求得作用力2)已知作用于质点的力,求质点的运动此类问题中,已知的作用力可能表现为多种形式,如常量、变量、时间、位置、速度的函数等这类问题归结为解运动微分方程问题,可用积分法求解例9-1】,如图9-2所示,桥式起重机上跑车悬吊一重为,W,的重物,以速度,v,0,做匀速直线运动刹车后,重物的重心因惯性绕悬挂点,O,向前摆动,求钢绳的最大拉力解,由题意可知,该问题属于动力学第一类基本问题1)选研究对象取重物W 为研究对象,画受力图如图9-2所示2)分析运动刹车后,小车不动,但重物由于惯性,继续绕点,O,摆动,即在以,O,为圆心,l为半径的一段弧上运动。
图9-2,(3)列运动微分方程,求未知量列出自然坐标系下的运动微分方程:因此可得到,事实上摆角,愈大,重物的速度就愈小,拉力,F,T,也愈小因此当,=0时,即刚开始刹车的瞬时,钢绳的拉力最大,这时重物的速度为,v,0,由此求得钢绳最大的拉力为,(4)分析讨论刹车前,小车做匀速平动,重物处于平衡状态,故,F,T,=,W,=m,g,于是即,【例9-2】,曲柄连杆机构如图9-3所示曲柄,OA,以匀角速度,转动,OA=r,AB,=l,当,=,r,/l比较小时,以,O,为坐标原点,滑块,B,的运动方程可近似写为如滑块的质量为,m,忽略摩擦及连杆,AB,的质量,求当,=t,的值分别为0和,/2时,连杆,AB,所受的力图9-3,解,该问题属于动力学第一类基本问题以滑块,B,为研究对象,当,=t,时,受力如图9-3(b)所示滑块,B,沿,x,轴的运动微分方程为对滑块B 的运动方程求微分可得,【例9-3】,如图9-4所示,一物体重,P,抛射角度为,抛射初速度为,v,0,若不计空气阻力,求物体的运动轨迹图9-4,解,由题意可知,该问题属于动力学第二类基本问题以抛射体为研究对象,它在被抛出后的全部运动过程中,仅受重力,P,的作用,如图9-4所示。
由于运动轨迹未知,可列出图9-4所示直角坐标系下的运动微分方程:,对式(3)再积分,得,【例9-4】,图9-5所示为一圆锥摆已知质量,m,=0.1k的小球系于长,l,=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点,O,并,g,与铅直线成,=60角如小球在水平面内做匀速圆周运动,求小球的速度,v,与绳的张力,F,的大小解,这是一个既求作用力、也求运动的综合问题以小球为研究对象,作用在其上的力有重力,m,g,、绳的拉力,F,图9-5,思 考 题,9 1 什么是质量?质量与重量在意义上有无区别?,9 2 什么是惯性?是否任何物体都有惯性?怎样比较两质点惯性的大小?,9 3 质点在空间运动,已知作用力为求质点的运动方程需要几个运动初始条件?若质点在平面内运动,需要几个运动初始条件呢?若质点沿给定的轨道运动,又需要几个呢?,9 4 质点受力已知,则其运动微分方程的形式与下列哪些因素有关?(1)坐标原点的位置;(2)坐标轴的取向;(3)坐标系的形式;(4)初始条件9 5 判断下列说法是否正确:(1)质点运动的方向就是受力方向;(2)质点受到的力大则速度也大,受到的力小则速度也小。