为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划合同矩阵正惯性指数 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质等价： 1、概念若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A ?B 2、矩阵等价的充要条件： A?B?{ 同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同合同： 1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A? B?BPAP?B T 二次 型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型相似 1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B?P?1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B2、矩阵相似的性质： A~B,A~B,A A~B? TTkk?1 ~B(前提，A,B均可逆) ?1 |?E-A|?|?E?B|即A,B有相同的特征值 r(A)=r(B) tr(A)?tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B?(?E?A)?(?E?B)二、矩阵相等、合同、相似的关系、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 A?(?1,?2,?,?n)，B?(?1,?2,?,?m) 1、若向量组是向量组的极大线性无关组,则有m?n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)?r(B)但不能得出A?B 2、若m=n，两向量组?则有矩阵A,B同型且r(A)?r(B)? A~B,A?B,A?Br(A)?r(B)?A?B 3、若A?B?r(A)?r(B)?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有 A?B??(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n) 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推矩阵合同相似，等价的关系 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性2、合同、相似、等价之间的递推关系 ①相似?等价：A~②合同?等价：A? B? A,B同型且r(A)?r(B)? A?B B?A,B同型且r(A)?r(B)?A?B ③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当 A~B 时，|?E?A|?|?E?B|?二次型f(x)? XAX T 与g(x)? XBX T 有相同的 标准型，即二者有相同的正负惯性指数? 即有A~ B?A?B?A?B A?B?A?B T E使得PAP?B即A?B Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即PTP? B?PAP?P T ?1 则有 AP?~A B即有A? B?A~B Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则 A~B 时有 A~B?A?B?A?B Ⅳ、A~B?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B) B,A?B成立的条件。
下面讨论r(A)?r(B)时A~B,A?由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知存在正交矩阵P时，有PT T ?P ?1 ，则 r(PAP)?r(A)记B?PAP则r(A)(来自:写论文网:合同矩阵正惯性指数)?r(B) T 此时A? B?A~B?A?B A~B,A?B,A?B 即P为正交矩阵时，由r(A)?r(B)? 1、矩阵等价：①同型矩阵而言 ②一般与初等变换有关 ③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的 本质是秩相等 2、矩阵相似：①针对方阵而言②秩相等是必要条件 ③本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵②秩相等是必需条件 ③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立相似与合同不可互推，需要一定的条件而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵 矩阵的相似与合同及其等价条件研究 指导老师：王晶晶 引言 矩阵的相似与合同及其等价三者性代数中是很重要的概念，性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助. 1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念 矩阵等价的定义[1] 定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到： 定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述： 定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQ?B,则称矩阵A与B等价，记作A∽B.矩阵相似的定义[2] 定义设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得 P?1AP?B,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A～B. n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]: 性质反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似.性质对称性，即如果A～B，则B～A.性质传递性，如果A～B，B～C，则A～C. 性质P?1(k1A1?k2A2)P?k1P?1AP?k2A2P. 12 性质P?1(A1A2)P?(P?1A1P)(P?1A2P). 性质若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP可以得到Am与相Bm相似. 性质如果矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B～A.证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP故可以得到B～A. 性质如果矩阵A～B，那么A?B. 证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，又因为P?1AP?B，P?1P?1，故可以得到A?B. 性质相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似. 证明设B?P?1AP，若矩阵B可逆，B?1?P?1AP也相似. 若B不可逆，则P?1AP不可逆，即A也不可逆. 性质相似矩阵有相同的特征值. 证明设B?P?1AP，?E?B?P?1?EP?P?1AP ?1 ?1 ?1 ?1 ?? m ?Bm?P?1AmP，故 ?? ?1 ?B?1?P?1A?1P， ?? ?1 ?P?1A?1P，从而B?1和A?1 ?P?1??E?A?P??E?A 故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值. 性质相似矩阵有相同的迹. 证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P,使得P?1AP?B， tr?B??trP?1AP ?? ?trP?1PA ?tr?A? ?? ?20??30? ??例1A??，B??03??02??，求分别求矩阵A、B的特征多项式，特征值秩,???? 迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系？ 解从已知可知A? XX ?6，Rank(A)?2,tr(A)?5 对于A的特征多项式?E?A?故A的特征值为2和3. 对于矩阵B,B? 3002 ??2 ??3 ?(??2)(??3) ?6，Rank(B)?2,tr(B)?5 矩阵B的特征多项式B? ??3 00 ?(??2)(??3).??2 故矩阵B的特征值是2和3. ?01??1 PAP?B，从定义矩阵B与矩阵A相似.?存在一个可逆矩阵P??使得?10? ?? 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4]. ?1?2?4? ?? 例2设实数域上的3级实对称矩阵A???24?2?，对角矩阵 ??4?21????500? ?? B??050?.求矩阵A、B的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗？如 ?00?4???果相似求出可逆矩阵P. ??1 解由矩阵A的特征多项式为2 4 242???1 ??1 20 24 ??4 2??42?2??10??1 ??1 ? 242 20 ??4 ???(??5)2(??4)故矩阵A的特征值为5和—4. 容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同， ?1 5??525故矩阵B的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P????5??0? 4 152 151?53 2??3?1?3?2??3? 验证得到P?1AP?B，那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式.矩阵合同的定义[2] 定义设A，B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称A与B合同，记作A?B. n阶矩阵的合同关系具有下列性质： ⑴反身性:即任一n级矩阵与自身合同.⑵对称性:即如A与B合同，则B与A合同. ⑶传递性:A与B合同，B与C合同，则A与C合同.⑷合同的两矩阵有相同的二次型标准型.⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. ⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等. 2.合同矩阵与相似矩阵的关系 矩阵的相似与合同的相同点[5]. ⑴从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性. ⑵相似、合同矩阵均有相同的秩. (A)?Rank(B)，若矩阵A合同于矩阵B，则若矩阵A相似与矩阵B，则Rank Rank(A)?Rank(B).可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同. ⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵. 若矩阵A于矩阵B相似，则要求A、B都是方阵；若A合同与B，则要求A、B都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵.矩阵的相似与合同的不同点[5]. 矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A～B，则A?B，A与B有相同的特征值.但若A?B，那么A与B的行列式的值不一定相等；A与B也不一定有相同的特征值. ?2?? ?2?2??2 ???1 例1设A??25?4?,T?? ??2?45?????0 ?? 2454?45545 1??3??100? ??2?,B?。