1,第七章 趋势外推预测方法,§7.1 趋势外推预测法概述 §7.2 多项式曲线法 §7.3 指数曲线法 §7.4 修正指数曲线法和双指数曲线法 §7.5 生长曲线法 §7.6 增长型曲线模型的识别方法 §7.7 增长型曲线模型的参数估计 §7.8 包络曲线法,2,§7.1 趋势外推预测法概述,统计资料表明，大量社会经济现象的发展主要是渐进型的，其发展相对于时间具有一定的规律性 趋势外推预测方法是根据事物的历史和现实数据，寻求事物随时间推移而发展变化的规律，从而推测其未来状况的一种常用的预测方法趋势外推法的假设条件是：(1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物的发展变化是渐进型的2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来趋势变化的情况3,由以上两个假设条件可知，趋势外推预测法是事物发展渐进过程的一种统计预测方法简言之，就是运用一个数学模型，拟合一条趋势线，然后用这个模型外推预测未来时期事物的发展 趋势外推预测法主要利用描绘散点图的方法(图形识别)和差分法计算进行模型选择 主要优点是：可以揭示事物发展的未来，并定量地估价其功能特性。
趋势外推预测法比较适合中、长期新产品预测，要求有至少5年的数据资料4,趋势外推法首先由R.赖恩（Rhyne）用于科技预测他认为，应用趋势外推法进行预测，主要包括以下6个步骤： （1）选择预测参数； （2）收集必要的数据； （3）拟合曲线； （4）趋势外推； （5）预测说明； （6）研究预测结果在制订规划和决策中的应用 趋势外推法是在对研究对象过去和现在的发展作了全面分析之后，利用某种模型描述某一参数的变化规律，然后以此规律进行外推 为了拟合数据点，实际中最常用的是一些比较简单的函数模型，如线性模型、指数曲线、生长曲线、包络曲线等5,趋势外推预测可以分为两大类： 时间序列趋势外推预测 增长型曲线外推预测 本章主要讲述增长型曲线外推预测，并对时间序列趋势外推预测进行简单回顾（ §7.1 ） 时间序列趋势外推预测又可以分为： 样本序列具有水平趋势的外推预测法 样本序列具有非水平趋势的外推预测法 样本序列具有线性趋势的外推预测法 样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法,6,1、样本序列具有水平趋势的外推预测法 （1）朴素预测法（2）平均数预测法2、样本序列具有非水平趋势的外推预测法 （1）加权移动平均法式中， 为加权因子，满足,,,,,,7,（2）一次指数平滑预测法3、样本序列具有线性趋势的外推预测法 （1）二次移动平均值预测法（即趋势移动平均法）,,,8,(2)二次指数平滑预测法,9,4、样本序列具有线性趋势和季节波动的外推预测法 经济时间序列一般可以分解为四个因素：长期趋势T、周期变动C、季节因素S和随机因素I，并有如下三种模型：乘法模型： Y=TCSI加法模型： T=T+C+S+I混合模型： Y=TC+SI 下面分别介绍加法型和乘法型序列的趋势外推预测方法。
10,（1）加法型序列的外推预测法 假设样本序列为 序列yt是加法型，即,,,11,求yn+T的预测值，预测步骤如下： 第一步，对样本序列做时段长为3的滑动平均，消去随机干扰，记滑动平均后的序列为 第二步，对 求出趋势线第三步，将序列yt消除线性趋势因素的影响，求出消去趋势影响后的序列值Mt 第四步，将Mt值按季节次序重排，如下表1所示，在此假定t=1代表春季，n=20.,,,,,12,对表7.1.1各列算出平均值，依序记为 ，分别表示样本序列的季节指数表7.1.1,,13,第五步，对样本季节指数进行检验，若 ，则符合季节指数的条件，否则 ，则需对样本季节指数进行修正修正的方法是：若 ，则将每个 减去3/4，即令标准化的季节指数为Si：那么有第六步，运用已求得的Tt，Si 即可进行预测，由于 是不可预测的随机干扰，由此得到,,,,,14,例：某市的啤酒销售量有如表7.1.2的数据序列，试求出第21，22，23，24季度的啤酒销售量的预测值。
表7.1.2,15,解：第一步，按滑动时段长N=3，求出序列的滑动平均值，削去随机干扰，显出趋势求出趋势线的方程第二步，计算 ，并将Mt按季节排列，如表7.1.3所示，由于 ， 故需对 进行修正，修正后的 ，即第三步，进行预测，,,,,,,16,表7.1.3,17,（2）乘法型序列的外推预测法 设 样本序列为 ，外推预测公式可表示为现介绍求 估计值 的传统分解方法 第一步，对yt序列值分解出长期趋势因素假设季节长度为4，只要将序列作滑动长度为4的滑动平均时，即可消除随机干扰和季节波动影响记滑动平均值为则滑动平均后的序列，即为线性趋势因素，故有,,,,,,,（2 -1 ）,（2 -2 ）,18,第二步，对yt分解出季节因素与随机因素，根据 以 去除yt，得到该式只含季节因素和随机因素两个分量 第三步，从 中分解出季节因素St由于 ，故可采用平均的方法可以消除随机性影响。
但简单的平均可能把季节影响也消除掉，因此，为保留季节性影响，可将序列(2-3)式按春、夏、秋、冬顺序逐年逐季排列，然后，将各年相同季节的 相加起来进行平均，这就达到了保留季节性，消除随机性的目的2 -3 ）,,19,表7.1.4,例如，有表7.1.4的 数值表，将该表的春季这一栏的值相加求平均值，就得到了消除随机性的春季季节指数类似可以求出夏、秋、冬各季的季节指数分别记为：将这些值相加，得到 ，与标准的季节指数和 有差异，这是由于样本的随机性所致为使所求的季节指数比较接近标准的季节指数，必须对上述样本季节指数进行调整，使调整后的季节指数总和恰为400通过调整，季节指数的含义更加明显了20,第四步，运用(2-2)式的滑动平均后得到的数据序列，建立线性趋势方程，记为第五步，根据第三、四两步得到的季节指数St和Tt，即可按要求进行预测，预测公式是,,21,例：某地某种服装的销售量有下述季度销售数据，见表7.1.5根据表5的数据，绘制出销售量依时间变化的图形(见图7.1.1) 从图形可以明显地看出，序列呈季节性变化，季节长度为4。
此外，序列有线性长期趋势，按乘法型序列外推预测法的基本原理，其模式为试求2000年春、夏、秋、冬各季某种服装的销售量预测值22,表7.1.5,23,图7.1.1,24,解： 第一步，根据表7.1.5的数据，进行滑动时段长为4的滑动平均，得到如表7.1.6的滑动平均值这些数值消除了季节波动与随机干扰的影响，显示出序列的趋势变化，见表7.1.6中Tt列中的数据 第二步，将表7.1.6中yt列中的数据除以Tt列中的数据，即得到 列的数据，这表示已将 从yt中分离出来 第三步，从 序列中消除随机性的影响，分离出季节因素25,表7.1.6,26,表7.1.7,27,将表7.1.6中 列的数据，按年、季重排，如表7.1.7，然后，分别计算各季度的均值，这样便消去了随机性，保留了季节性各列的平均值，即为各季的季节指数，又称为样本季节指数，对各样本季节指数求总得与标准季节指数有差异，因此，要作必要的调整，调整的方法是将 乘以修正系数 由此，得到调整后的季节指数为,,,,,,,,,,28,第四步，求出趋势直线方程参数 的求估，可用目估法或最少二乘法求出。
用目估法求得 ，则有第五步，进行预测，2000年春季相当于第37季度，由此得到2000年各季度某种服装的销售量预测值为,,,29,时间序列的基本特征是：其数值是依时间的变化而变化，起伏交替，有起有伏的，有些有某种变化趋势 增长型曲线是描绘技术或经济领域中的某些指标依时间变化而呈现出增长(下降)规律性的一种曲线 在取得技术、经济指标的样本序列之后，通过建模，进行外推预测，是一种常用的预测方法 如新技术、新产品的发展和更新换代过程，需求增长规律等均可以增长型曲线来描绘 从第二节开始将介绍增长曲线的基本类型和特征，增长曲线模型的识别方法及其参数估计，最后给出预测的案例30,§7.2 多项式曲线法,这种增长曲线是一些不同次数的多项式 一般的k次多项式为 ：上列多项式中， 均是模型参数，t是时间变量，yt是经济指标值若k不超过3，则参数 有明显的经济意义，a0为t=0时序列的初始值，a1可解释为增长的变化速度，a2为加速度，a3为加速度的变化率31,1、若增长曲线是一次多项式，则由是常量，表明yt依时间变化过程是一个均衡发展过程。
2、若增长曲线为二次多项式，其图像是二次抛物线它分为两支，一支增长为正，一支增长为负如图7.2.1所示 因为 则，ut是一直线方程，相应地是一常数，说明它的二阶增长与时间变化无关32,图7.2.1,（a）,（b）,33,若以一阶差分 代替一阶微分，二阶差分 代替二阶微分，并记类似地以三阶差分代替三阶微分，那么，对三次多项式，就得到由此得到以下基本规律：若增长曲线为一次曲线，则一阶差分为常量；若为二次抛物线，则二阶差分为常量，余此类推34,§7.3 指数曲线法,许多系统特征数据序列，如反映技术进步或经济增长的时间序列数据，在其未达到饱和状态之前的成长期内，往往遵循指数曲线增长规律因此，对发展中的事物，可以考虑用指数曲线进行预测 指数曲线预测模型为：,,,其中，a，b为模型参数；t为时间变量；yt为经济目标值35,1、对于模型 当a>0时，若b>0，那么增长曲线yt随着t的增加无限制的增大；若b<0，那么增长曲线yt随着t的增加而下降；当t趋向无穷时，yt趋向零yt以yt=0为其渐近线如图7.3.1所示 其特征为： （1）其本质是具有不变增长速度 的线性型增长曲线。
对模型两边取对数，即得： 令 则 （2）,是一个常数36,2、对于模型 当a>0时，若b>1，那么增长曲线yt随着t的增加无限制的增大；若0