向量与三角形内心

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等二、四心与向量的结合（1） 是 的重心.0OCBAABC证法 1：设 ),(),(),(), 321yxyx0)()()(321 3213yyxx是 的重心.OABC证法 2：如图Q0D三点共线，且 分A、OAD为 2：1是 的重心OBC（2） 为 的垂心. BC证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD 垂直 BC， D、E 是垂足.0)( AOAACB同理 ， B为 的垂心OA（3）设 , , 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心abc为 的内心.CB0ABC证明： 分别为 方向上的单位向量，、Q、平分 ,bAc)，令(OCBcba  OAB CD EOAB CDE（ )cbaAObACB化简得 0)( （4） 为 的外心。

CBAOAB典型例题：例 1： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足C、 P， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ）)(ABOP,0PABCA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心分析：如图所示 ， 分别为边 的ED、B、中点. CB2QAOPD2//AP点 的轨迹一定通过 的重心，即选 .ABC例 2：（03 全国理 4） 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动OCBA、点 满足 ， ，则点 的轨迹一定通过 的（ P)(CAB,0PABCB ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心分析： 分别为 方向上的单位向量，、Q、平分 ,ACB点 的轨迹一定通过 的内心，即选 .PBBAB CDE例 3： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足OCBA、 P， ，则点 的轨迹一定通过 的)coscs(BAP,0ABC（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心分析：如图所示 AD 垂直 BC，BE 垂直 AC， D、E 是垂足. )coscs(CAB= = CABABcoscos= + =0C点 的轨迹一定通过 的垂心，即选 .PBD练习：1．已知 三个顶点 及平面内一点 ，满足 ，若AC、P0PCBA实数 满足： ，则 的值为（ ）PBA．2 B． C．3 D．622．若 的外接圆的圆心为 O，半径为 1， ，则 ( )C 0OCBABAA． B．0 C．1 D．1 23．点 在 内部且满足 ，则 面积与凹四边形O02A面积之比是（ ）BA．0 B． C． D．345344． 的外接圆的圆心为 O，若 ，则 是 的（ COCBHHAB）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心AB CDE 5． 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，若OCBA、 22OBCA，则 是 的（ ）22CAA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心6． 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，，)(mH则实数 m = 7． （06 陕西）已知非零向量 与 满足( + )· =0 且 · = , 则△AB→ AC→ AB→ |AB→ |AC→ |AC→ | BC→ AB→ |AB→ |AC→ |AC→ |12ABC 为( )A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．等边三角形8．已知 三个顶点 ，若 ，则BA、 ABA2为（ ）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D 、C 豆 丁 致 力 于 构 建 全 球 领 先 的 文 档 发 布 与 销 售 平 台 ， 面向 世 界 范 围 提 供 便 捷 、 安 全 、 专 业 、 有 效 的 文 档 营 销 服 务 。

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