素能培优,(,二,),巧用函数性质的二级结论解客观题,高考总,复习优化设计,GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI,2025,关于函数的奇偶性、周期性、对称性,有很多重要的二级结论,运用这些结论解决客观题非常简洁、高效,举例说明如下,.,一、应用奇函数的二级结论解题,结论,1:,如果函数,f,(,x,),是奇函数且在,x,=0,处有意义,那么,f,(0)=0.,结论,2:,若奇函数,f,(,x,),在关于原点对称的区间上有最值,则,f,(,x,),m,ax,+,f,(,x,),mi,n,=0.,结论,3:,若函数,f,(,x,),是奇函数,且,g(,x,)=,f,(,x,)+c,则必有,g(-,x,)+g(,x,)=2c.,结论,4:,若函数,f,(,x,),是奇函数,且,g(,x,)=,f,(,x,)+c,g(,x,),在定义域上有最值,则必有,g(,x,),m,ax,+g(,x,),mi,n,=2c.,例,1,(2024,云南楚雄模拟,),已知奇函数,f,(,x,)=,a,x,+,b,a,-,x,在区间,-1,1,上的最大,值,B,解析,由于函数为奇函数且在,x=,0,有定义,所以,f,(0),=,1,+b=,0,解得,b=-,1,即,f,(,x,),=a,x,-a,-x,.,对点训练,1,(2024,四川成都模拟,),已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),的周期为,4,当,x,0,2,时,f,(,x,)=(,x,-1),2,+,a,则,f,(2 023)=(,),A.3,B,.-3,C.1,D,.-1,C,解析,因为,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数,所以,f,(0),=,(0,-,1),2,+a=,0,所以,a=-,1,又因为函数,f,(,x,),的周期为,4,所以,f,(2,023),=f,(,-,1),=-f,(1),=-a=,1,故选,C,.,例,2,已知函数,f,(,x,)=,a,l,n,(,x,+)+,b,si,n,x,+2,若,f,(-3)=7,则,f,(3),的值为,(,),A.-7,B,.-5,C.-3,D,.,无法确定,C,对点训练,2,已知函数,f,(,x,),g(,x,),分别是定义域为,R,的奇函数和偶函数,若,F,(,x,)=,f,(,x,)g(,x,)-3,且,F,(2)=1,则,F,(-2)=,.,-7,解析,因为,f,(,x,),g,(,x,),分别是奇函数和偶函数,所以,f,(,x,),g,(,x,),是奇函数,又,F,(,x,),=f,(,x,),g,(,x,),-,3,所以,F,(2),+F,(,-,2),=-,6,而,F,(2),=,1,所以,F,(,-,2),=-,7,.,例,3,(2024,宁夏银川模拟,),设函数,f,(,x,)=,的,最大值为,a,最小值为,b,则,a,+,b,=,.,2,对点训练,3,已知函数,f,(,x,)=,+8(,a,0,a,1),在区间,a,b,上的最小值为,-10,则函数,f,(,x,),在区间,-,b,-,a,上的最大值为,(,),A.10,B.26,C.-10,D,.,与,a,有关,B,解析,令,g,(,x,),=,(,a,0,a,1),则,g,(,x,),为奇函数,因为,f,(,x,),=g,(,x,),+,8,在区间,a,b,上的最小值为,-,10,所以函数,f,(,x,),在区间,-b,-a,上的最大值,为,28,-,(,-,10),=,26,故选,B,.,二、应用周期性的二级结论解题,对,f,(,x,),定义域内任一自变量的值,x,(,a,b,为非零常数,),结论,1:,若,f,(,x,+,a,)=,f,(,x,-,a,),则,f,(,x,),的一个周期为,2,a,;,结论,2:,若,f,(,x,+,a,)+,f,(,x,)=c(c,R),则,f,(,x,),的一个周期为,2,a,;,结论,3:,若,f,(,x,)=,f,(,x,+,a,)+,f,(,x,-,a,),则,f,(,x,),的一个周期为,6,a,;,结论,4:,若函数,f,(,x,),的图象关于直线,x,=,a,与,x,=,b,对称,则,f,(,x,),的一个周期为,2|,b,-,a,|(,b,a,).,结论,5:,若函数,f,(,x,),的图象关于点,(,a,0),对称,又关于点,(,b,0),对称,则,f,(,x,),的一个周期为,2|,b,-,a,|(,b,a,).,结论,6:,若函数,f,(,x,),的图象关于直线,x,=,a,对称,又关于点,(,b,0),对称,则,f,(,x,),的一个周期为,4|,b,-,a,|(,b,a,).,(,注意,:,结论,4,结论,6,的记忆,:,两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差,),例,4,(2024,陕西汉中模拟,),设,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数,且,f,(,x,-2)=,f,(-,x,),若,A,对点训练,4,已知定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,x,)+,f,(-,x,)=0,f,(,x,-2)=,f,(,x,+2),当,x,-2,0,时,f,(,x,)=(),x,+,b,则,f,(log,3,162)=,.,-1,解析,由题意知,f,(,x,),为定义在,R,上的奇函数,所以,f,(0),=b+,1,=,0,即,b=-,1,.,因为,f,(,x+,2,-,2),=f,(,x+,2,+,2),所以,f,(,x,),=f,(,x+,4),即,f,(,x,),的周期为,4,则,f,(log,3,162),=f,(log,3,(162,-,440),=f,(log,3,2),.,因为,log,3,2,(0,1),f,(,x,),为奇函数,所以,例,5,(2024,辽宁沈阳模拟,),已知函数,y,=,f,(2,x,+1),的图象关于直线,x,=1,对称,函数,y,=,f,(,x,+1),的图象关于点,(1,0),对称,则下列说法一定正确的是,(,),A.,f,(1)=0,B.,f,(1-,x,)=,f,(1+,x,),C.,f,(,x,),的周期为,2,B,解析,因为函数,y=f,(2,x+,1),的图象关于直线,x=,1,对称,所以,f,(2(1,+x,),+,1,),=,f,(2(1,-x,),+,1),即,f,(2,x+,3),=f,(3,-,2,x,),.,用,x,代换上式中的,2,x,即可得到,f,(,x+,3),=f,(3,-x,),所以函数,f,(,x,),的图象关于直线,x=,3,对称,.,函数,y=f,(,x+,1),的图象关于点,(1,0),对称,所以,f,(1,+x+,1),+f,(1,-x+,1),=,0,即,f,(2,+x,),+f,(2,-x,),=,0,所以,f,(,x,),的图象关于点,(2,0),对称,.,对于,f,(,x+,3),=f,(3,-x,),令,x,取,x+,1,可得,f,(,x+,4),=f,(2,-x,),.,对于,f,(2,+x,),+f,(2,-x,),=,0,令,x,取,x+,2,可得,f,(,x+,4),=-f,(,-x,),.,所以,f,(2,-x,),=-f,(,-x,),令,x,取,-x,可得,f,(2,+x,),=-f,(,x,),所以,f,(,x+,2),=-f,(,x,),令,x,取,x+,2,可得,f,(,x+,4),=f,(,x,),即,f,(,x,),的周期为,4,故,C,错误,;,对于,f,(,x+,3),=f,(3,-x,),令,x,取,x-,3,可得,f,(,x,),=f,(6,-x,),.,因为,f,(,x,),的最小正周期为,4,所以,f,(6,-x,),=f,(2,-x,),所以,f,(,x,),=f,(2,-x,),令,x,取,x+,1,可得,f,(,x+,1),=f,(1,-x,),故,B,正确,D,错误,;,由,f,(,x+,1),=f,(1,-x,),可得直线,x=,1,为函数,f,(,x,),的图象的对称轴,但不能确定,f,(1),=,0,是否成立,故,A,错误,.,对点训练,5,(2024,广东佛山检测,),已知定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,:,f,(-,x,)+,f,(,x,)=0,f,(2-,x,)=,f,(,x,),且,f,(,x,),在区间,(-1,1),内单调递增,则,(,),A.,f,(-5.3),f,(5.5),f,(2),B.,f,(-5.3),f,(2),f,(5.5),C.,f,(2),f,(-5.3),f,(5.5),D.,f,(5.5),f,(2),f,(-5.3),B,解析,根据题意,函数,f,(,x,),满足,f,(,-x,),+f,(,x,),=,0,f,(2,-x,),=f,(,x,),则有,f,(2,-x,),=-f,(,-x,),变形可得,f,(,x+,2),=-f,(,x,),则有,f,(,x+,4),=-f,(,x+,2),=f,(,x,),即函数,f,(,x,),是周期为,4,的周期函数,对称轴为直线,x=,1,f,(,x,),在区间,(,-,1,1),内单调递增,所以,f,(,x,),在区间,(1,3),内单调递减,f,(5,.,5),=f,(1,.,5),f,(,-,5,.,3),=f,(2,.,7,-,8),=f,(2,.,7),因为,1,1,.,5,2,2,.,7,f,(2),f,(2,.,7),即,f,(,-,5,.,3),f,(2),f,(5,.,5),故选,B,.,三、应用对称性的二级结论解题,结论,1:,若函数,f,(,x,+,a,),是偶函数,则函数,f,(,x,),的图象关于直线,x,=,a,对称,.,结论,2:,若函数,f,(,x,+,a,),是奇函数,则函数,f,(,x,),的图象关于点,(,a,0),中心对称,.,例,6,(,多选题,)(2024,广东深圳检测,),已知函数,f,(,x,),的定义域为,R,f,(,x,+1),为偶函数,f,(3,x,+2),为奇函数,则,(,),A.,f,(,x,),的图象关于直线,x,=1,对称,B.,f,(,x,),的图象关于,(1,0),对称,C.,f,(,x,+4)=,f,(,x,),AC,解析,f,(,x+,1),为偶函数,f,(,x+,1),的图象关于直线,x=,0,对称,因此,f,(,x,),的图象关于直线,x=,1,对称,故,A,正确,;,f,(3,x+,2),为奇函数,f,(3,x+,2),关于点,(0,0),中心对称,因此,f,(,x,),关于,(2,0),中心对称,故,B,错误,;,由以上分析得,f,(,x,),的周期为,4(2,-,1),=,4,即,f,(,x+,4),=f,(,x,),故,C,正确,;,又,f,(,x,),的图象关于点,(2,0),中心对称,f,(2),=,0,f,(1),+f,(3),=,0,f,(,x,),的图象关于直线,x=,1,对称,f,(0),=f,(2),=,0,f,(0),+f,(1),+f,(2),+f,(3),=,0,f,(,x,),是周期为,4,的函数,对点训练,6,(2024,江西临川模拟,),若函数,f,(,x,),的定义域为,R,且,f,(,x,+1),是偶函数,f,(,x,+1),关于点,(2,0),成中心对称,则函数,f,(,x,),的一条对称轴方程为,(,),A.,x,=2 023B.,x,=2,022C.,x,=2,021D.,x,=2 020,C,解析,因为,f,(,x+,1),是偶函数,所以,f,(,x+,1),=f,(,-x+,1),因此,f,(,x,),的图象关于直线,x=,1,对称,即,f,(,x,),=f,(2,-x,),因为,f,(,x+,1),的图象关于点,(2,0),成中心对称,且,f,(,x,),的图象向左平移,1,个单位长度之后得到,f,(,x+,1),的图象,所以,f,(,x,),的图象关于点,(3,0),对称,。