解答题专项,概率,与统计中的综合问题,高考总,复习优化设计,GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI,2025,考情分析,:,有关概率、统计与其他知识相交汇的考题,能体现,“,返璞归真,支持课改,;,突破定势,考查真功,”,的命题理念,是每年高考的常考内容,.,近几年还经常将概率与统计问题与数列、函数、导数结合,成为创新问题,.,考点,一 统计图表,与分布列的综合问题,例,1,(2024,北京海淀模拟,),垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值,.,某学校在寒假期间安排了,“,垃圾分类知识普及实践活动,”.,为了解学生的学习成果,该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试,然后从高一、高二年级全体学生中各随机抽取了,20,名学生成绩,(,百分制,),并对数据,(,成绩,),进行了整理、描述和分析,.,下面给出了整理的相关信息,:,高一年级成绩分布表,等级,E,D,C,B,A,成绩,(,分数,),50,60,),60,70,),70,80,),80,90,),90,100,人数,1,2,3,4,10,高二年级成绩频率分布,直方图,(1),从高一和高二年级学生样本中各抽取一人,这两个人成绩都不低于,90,分的概率是多少,?,(2),分别从高一全体学生中抽取,1,人,从高二全体学生中抽取,2,人,这三人中成绩不低于,90,分的人数记为,X,用频率估计概率,求,X,的分布列和期望,;,(3),学校为提高学生对垃圾分类的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座,假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级,若高一、高二学生数量一致,那么若想高一和高二学生的平均分尽可能高,需要在高一讲座还是高二讲座,?(,直接写出结论,),(3),由于高一年级低分段的人数相比高二年级要少得多,所以需要在高二讲座,.,考点,二 回归,模型与分布列的综合问题,例,2,(2024,浙江绍兴模拟,),今年春季以来,各地出台了促进经济发展的各种措施,经济增长呈现稳中有进的可喜现象,.,服务业的消费越来越火爆,一些超市也纷纷加大了广告促销,.,现在某地随机抽取了,7,家超市,得到其广告支出,x,(,单位,:,万元,),与销售额,y,(,单位,:,万元,),数据如下,:,超市,A,B,C,D,E,F,G,广告支出,x,/,万元,1,2,4,6,10,13,20,销售额,y,/,万元,19,32,44,40,52,53,54,(1),建立,y,关于,x,的一元线性回归方程,(,系数精确到,0.01);,(2),若将超市的销售额,y,与广告支出,x,的比值称为该超市的广告效率值,当,10,时,称该超市的广告为,“,好广告,”.,从这,7,家超市中随机抽取,4,家超市,记这,4,家超市中,“,好广告,”,的超市数为,X,求,X,的分布列与数学期望,.,对点训练,1,(2024,四川成都模拟,),为研究如何合理施用化肥,使其最大限度地促进粮食增产,减少对周围环境的污染,某研究团队收集了,10,组化肥施用量和粮食亩产量的数据,并对这些数据进行了初步处理,得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值,其中,化肥施用量为,x,(,单位,:,千克,),粮食亩产量为,y,(,单位,:,百千克,).,令,t,i,=l,n,x,i,z,i,=l,n,y,i,(i=1,2,10).,(1),根据散点图,判断,y,=,a,+,bx,与,y,=c,x,d,哪一个更适宜作为粮食亩产量,y,关于化肥施用量,x,的回归方程模型,(,给出判断即可,不必说明理由,);,(2),根据,(1),的判断结果及表中数据,建立,y,关于,x,的回归方程,并估计化肥施用量为,27,千克时,粮食亩产量的值,;,(3),经生产技术提高后,该化肥的有效率,Z,大幅提高,经试验统计得,Z,大致服从正态分布,N,(0.54,0.02,2,).,问这种化肥的有效率超过,56%,的概率约为多少,?,若随机变量,Z,N,(,2,),则有,P,(,-,Z,+,)0.682 7,P,(,-2,Z,+2,)0.954 5;,e2.7.,解,(1),由散点图可知,y,随,x,的变化呈非线性的变化趋势,y=cx,d,更适宜作为,y,关于,x,的回归方程模型,.,(3),ZN,(0,.,54,0,.,02,2,),则,=,0,.,54,=,0,.,02,P,(,-,Z,+,),=P,(0,.,52,Z,0,.,56)0,.,682 7,则,P,(,Z,0,.,56,),=,0,.,158 65,这种化肥的有效率超过,56%,的概率约为,0,.,158 65,.,考点,三 独立性检验,与分布列的综合问题,例,3,(12,分,)(2023,全国甲,理,19),一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下,:,选,40,只小白鼠,随机地将其中,20,只分配到试验组,另外,20,只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量,(,单位,:g).,(1),设,X,表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求,X,的分布列和数学期望,;,关键点,:,结合题意弄清楚,X,服从的是超几何分布还是二项分布,.,(2),试验结果如下,:,对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为,15.2,18.8,20.2,21.3,22.5,23.2,25.8,26.5,27.5,30.1,32.6,34.3,34.8,35.6,35.6,35.8,36.2,37.3,40.5,43.2,试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为,7.8,9.2,11.4,12.4,13.2,15.5,16.5,18.0,18.8,19.2,19.8,20.2,21.6,22.8,23.6,23.9,25.1,28.2,32.3,36.5,(,),求,40,只小白鼠体重的增加量的中位数,m,再分别统计两样本中小于,m,与不小于,m,的数据的个数,完成如下列联表,:,组别,m,m,对照组,试验组,突破口,:,易知中位数是从小到大排序后第,20,位与第,21,位数据的平均数,.,通过整理可得第,20,位数据为,23.2,第,21,位数据为,23.6.,(,),根据,(,),中的列联表,能否有,95%,的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异,?,0.1,0.05,0.01,x,2.706,3.841,6.635,审题指导,:(1),利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望,;,(2)(i),根据中位数的定义即可求得,m=23.4,从而求得列联表,;,(ii),利用独立性检验的卡方计算进行检验,对照附表结合题意作答,.,规范解答,:,解,(1),由题意,X,服从超几何分布,X,的可能取值为,0,1,2,则,所以,X,的分布,列为,X,服从超几何分布,且,N,=40,M=20,n,=2,注意大小排序,;,偶数个数的中位数是中间两个数的,平均,数,故列联表为,:,组别,0,.,02;,当,c,100,105,时,p,(,c,),=,50,.,002,+,(,c-,100)0,.,012,q,(,c,),=,(105,-c,)0,.,002,f,(,c,),=,0,.,01,c-,0,.,980,.,02,.,故当,c=,100,时,f,(,c,),取最小值,最小值为,f,(100),=,0,.,02,.,对点训练,3,(2021,新高考,21),一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下去,设一个这种微生物为第,0,代,经过一次繁殖后为第,1,代,再经过一次繁殖后为第,2,代,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设,X,表示,1,个微生物个体繁殖下一代的个数,P,(,X,=i)=,p,i,(i=0,1,2,3).,(1),已知,p,0,=0.4,p,1,=0.3,p,2,=0.2,p,3,=0.1,求,E(,X,).,(2),设,p,表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p,是关于,x,的方程,:,p,0,+,p,1,x,+,p,2,x,2,+,p,3,x,3,=,x,的一个最小正实根,求证,:,当,E(,X,),1,时,p,=1;,当,E(,X,)1,时,p,0,f,(,x,),在区间,0,+,),上单调递增,下面证明当,E,(,X,)1,时,有,p=,1,.,假设,p,1,.,一方面,因为,f,(,p,),=,0,f,(1),=,0,根据罗尔中值定理,(,p,1),使得,f,(,),=,0,.,另一方面,因为,f,(,x,),在区间,0,+,),上单调递增,所以有,f,(,),f,(1),=p,1,+,2,p,2,+,3,p,3,-,1,=,0,p,0,+,1,p,1,+,2,p,2,+,3,p,3,-,1,=E,(,X,),-,10,即,f,(,),0,.,这就与,f,(,),=,0,矛盾,故假设,p,1,时,p,0,考虑到,f,(,x,),是一个连续函数,所以存在,x=,1,的某一邻域,U,(1),使得当,x,U,(1),时,有,f,(,x,),0,.,在这个邻域内任取一点,x,0,1,有,f,(,x,0,),0,且,f,(,x,),是一个连续函数,所以由零点存在定理,至少存在一点,(0,x,0,),使得,f,(,),=,0,.,因为,p,是关于,x,的方程,p,0,+p,1,x+p,2,x,2,+p,3,x,3,=x,的一个最小正实根,于是,p,0,时,有,f,(,x,),=p,1,+,2,p,2,x+,3,p,3,x,2,-,1,f,(,x,),=,2,p,2,+,6,p,3,x,0,.,当,x,0,时,f,(,x,),=,2,p,2,+,6,p,3,x,0,所以,f,(,x,),在区间,0,+,),上单调递增,下面证明当,E,(,X,)1,时,有,p=,1,.,当,x,(0,1),时,因为,f,(,x,),f,(1),=,0,即,f,(,x,),在,(0,1),内没有零点,所以,x=,1,是使得,f,(,x,),=,0,的最小的正根,.,故,p=,1,.,当,E,(,X,),1,时,因为,f,(0),=p,1,-,1,0,且,f,(,x,),在,0,1,上连续,所以由零点存在定理知,存在,x,0,(0,1),使得,f,(,x,0,),=,0,.,因为,f,(,x,),在区间,0,+,),上单调递增,所以当,x,0,xf,(,x,0,),=,0,所以函数,f,(,x,),在,x,0,1,上单调递增,于是,f,(,x,0,),0,由零点存在定理知,存在,t,(0,x,0,),使得,f,(,t,),=,0,.,另一方面,由于当,0,xx,0,f,(,x,),f,(,x,0,),=,0,所以这样的,t,是唯一的,于是,f,(,x,),=,0,的最小正根就是,p=t,0,所以当,xx,2,时,f,(,x,),0,所以函数,f,(,x,),在区间,(,-,x,1,),和区间,(,x,2,+,),上单调递增,;,当,x,1,xx,2,时,f,(,x,),0,所以函数,f,(,x,),在区间,(,x,1,x,2,),上单调递减,.,当,E,(,X,)1,时,f,(1),=E,(,X,),-,10,所以必有,x,1,1,x,2,所以当,0,x,1,时,f,(,x,),f,(1),=,0,即方程,f,(,x,),=,0,在,(0,1),内没有根,所以,p=,1,就是,f,(,x,),=,0,的最小正根,.,当,E,(,X,),1,时,f,(1),=E,(,X,),-,1,0,此时,必有,x,2,1,.,因为函数,f,(,x,),在,x,2,+,),上单调递增,所以,f,(,x,2,),0,以及函数,f,(,x,),的连续性,由零点存在定理知在,0,与,1,之间必有函数,f,(,x,),的零点,此零点就是原方程的一个正根,且比,1,小,故,p,0,所以,g,(,x,),有两个不,相等,这样原方程最多只有两个正根,x=,1,和,x=x,2,.,显然,当,xx。