九年级数学知识点九年级数学（上册）知识点第二十一章 一元二次方程一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于 x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式般形式．ax2bx c0 （a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一一个一元二次方程经过整理化成ax2bx c0（a≠0）后，其中ax2是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c是常数项．本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下， 通过解方程来解决一些实际问题1）运用开平方法解形如次──转化的数学思想．（mxa）2p （n≥ 0）的方程；领会降（2）配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次 项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； 变形为(x+p)2=q 的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p√q；如果q＜0,方程无实根．介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如 的方程这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程，由平方根的概念，可 以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解形如 的方程然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程，引出配方法最后安排运用配方法解一元二次方程的例题在例题中，涉及 二次项系数不是 1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对 这个内容会有进一步的理解3）一元二次方程b、c 而定，因此：ax2bx c0（a≠0）的根由方程的系数 a、解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式2ax2bx c 0，当b24ac ≥0 时，?将 a、b、c 代入式子 xb b 4ac2a就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算， 加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性 )这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．第二十二章 二次函数1. 定义：一般地，如果 y叫做 x 的二次函数 .ax2bx c(a, b, c是常数， a0) ，那么 y2. 二次函数 yax2 的性质2（1）抛物线y ax 的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴.（2）函数 yax2 的图像与 a 的符号关系 .①当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a 0）.3. 二次函数 y轴的抛物线 .ax2bx c的图像是对称轴平行于 （包括重合） y4. 二次函数 yax2 bxc 用配方法可化成：y ax h2k 的形式，其中 hb ，k2a24ac b4a二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y ax2y ax 2；②y bx c.ax2k ；③yax h2 ；④yax h2k ；⑤6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .①a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a越大，抛物线的开口越小； a越小，抛物线的开口越大。
②平行于 y 轴（或重合） 的直线记作 xh . 特别地， y 轴记作直线x 0.7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1） ）公式法：yax2bx c2ax b 2a4ac b2，4a2∴顶点是b,4ac b 2a 4a，对称轴是直线x b.2a（2） ）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h2k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.（3） ）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴， 与对称轴交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 .9. 抛物线 yax2bx c中，a, b, c 的作用（1） ）a决定开口方向及开口大小， 这与2y ax 中的a完全一样 .（2） ）b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax2bx c的对称轴是直线x b ，故：① b2a0时，对称轴为 y轴；② ba0（即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；③ ba侧，“左同右异” .0（即 a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右（3）c的大小决定抛物线 yax2bx c与 y轴交点的位置 .当x 0时，yc，∴抛物线 yax2bx c与 y轴有且只有一个交点（0， c ）：①c 0，抛物线经过原点; ②c 0,与y轴交于正半轴；③c 0,与 y 轴交于负半轴 .10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标y ax22y ax k当a 0时x 0 （y 轴） （0,0）x 0 （y 轴） (0, k)y ax h2开口向上 xh( h ,0)2y ax h k当a 0时 xh( h , k )y ax2bx c开口向下 x bb 4ac b22a11. 用待定系数法求二次函数的解析式( ， )2a 4a（1） ）一般式： y通常选择一般式 .ax 2bx c.已知图像上三点或三对 x、y的值，（2） ）顶点式： y选择顶点式 .ax h2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常（3） ）交点式：已知图像与 x轴的交点坐标x1、x2 ，通常选用交点式： yax x1xx2.12. 直线与抛物线的交点（1） ）y轴与抛物线 yax2bx c得交点为(0, c).（2） ）与 y轴平行的直线xh与抛物线 y2ax bxc 有且只有一个交点( h ,ah 2bh c).（3） ）抛物线与 x轴的交点二次函数 yax2 bxc的图像与 x轴的两个交点的横坐标x1、x2 ，是对应一元二次方程ax2bx c0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点 0 抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上） 0 抛物线与x轴相切；③没有交点 0 抛物线与x轴相离.（4） 平行于 x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、2 个交点. 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等， 设纵坐标为 y ，则横坐标是的两个实数根 .ax2bx c y（5） 一次函数 ykx bk0的图像 l 与二次函数y ax2bx ca0 的图像 G 的交点，由方程组y kx by ax2bx的解的c数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时 l与G只有一个交点；③方程组无解时 l 与G 没有交点。
第二十三章 旋转1. 旋转：在平面内， 将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转这个定点叫做旋转中心，转动的 角度叫做旋转角图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个 固定点旋转固定角度的位置移动， 其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、 对应角的大小相等， 旋转前后图形的大小和形状没有改变2. 旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后， 与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形， 这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于 0，大于360）3. 中心对称图形与中心对称：中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称4. 中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心， 并且被对称中心平分关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等第二十四章 圆1. 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径2. 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧大于半 圆的弧称为优弧， 小于半圆的弧称为劣弧 连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径3. 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角4. 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 其圆心叫做三角形的外心 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心5. 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形6. 圆锥侧面展开图是一个扇形 这个扇形的半径称为圆锥的母线7. 圆和点的位置关系：以点 P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙ O外， PO＞ r ；P在⊙ O上， PO＝r； P在⊙O内， PO＜r 8. 直线与圆有 3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交, 这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点9. 两圆之间有 5种位置关系： 无公共点的， 一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切， 在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距两圆的半径分别为 R和r，且R≥r，圆心距为d：外离d＞R+r； 外切d=R+r；相交R-r＜d＜R+r；内切d=R-r；内含d＜R-r10. 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线11. 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2） ）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径12. 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧13. 有关定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．在同圆或等圆中， 同弧等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90的圆周角所对的弦是直径．14. 计算公式 1、 扇形弧长:l nR。