7．5 正态分布课标要求素养要求1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.通过了解正态分布的特征，提升数学抽象及数据分析素养.新知探究高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．问题 正态分布有哪些应用？提示 正态分布在概率和统计中占有重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．1．正态曲线正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值；(3)当无限增大时，曲线无限接近x轴．3．正态分布的期望与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ μ，D(X)＝σ2．4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682__7；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954__5；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997__3．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3 σ原则.拓展深化[微判断]1．函数 (x∈R)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(×)提示 函数中σ的意义为标准差．2．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(×)提示 正态曲线与x轴围成的面积为定值1.3．正态曲线可以关于y轴对称．(√)[微训练]1．若X～N，Y＝6X，则E(Y)等于( )A．1 B. C．6 D．36解析 由X～N，知E(X)＝1，又Y＝6X，故E(Y)＝6E(X)＝6.答案 C2．设随机变量X～N(μ，σ2), 且P(X≤c)＝P(X＞c), 则c等于( )A．0 B．σ C．－μ D．μ解析 由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c为对称轴，又由X～N(μ，σ2)知对称轴为x＝μ，故c＝μ.答案 D[微思考]函数f(x)＝e－，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．提示 由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x＝μ，∴μ＝72，且＝，∴σ＝10.∴f(x)＝e－(x∈R).题型一 正态曲线的图象的应用【例1】 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.规律方法 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．【训练1】 若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布的概率密度函数的解析式．解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，所以＝，解得σ＝4.故函数的解析式为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．题型二 利用正态分布的对称性求概率【例2】 设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)．解 ∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.(2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，∴P(3≤X≤5)＝[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)]＝[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，求P(X≥5)．解 P(X≥5)＝P(X≤－3)＝[1－P(－3＜X≤5)]＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)＝0.022 75.【迁移2】 (变换条件)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，则P(0＜X＜2)＝( )A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2解析 ∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2，∴P(0＜X＜4)＝0.6.∴P(0＜X＜2)＝0.3.故选C.答案 C规律方法 利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．【训练2】 设X～N(1，1)，试求：(1)P(00.3．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.二、素养训练1．正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为P1，P2，则二者的大小关系为( )A．P1＝P2 B．P1＜P2C．P1＞P2 D．不确定解析 根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．答案 A2．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间[3，6]内的概率为( )(附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%解析 P(3≤ξ≤6)＝[P(－6≤ξ≤6)－P(－3≤ξ≤3)]≈×(95.45%－68.27%)＝13.59%.故选B.答案 B3．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(X0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为__________．解析 如图，易得P(0