第19课 圆的基本概念和性质课程标准（1）理解圆的有关概念和圆的对称性； （2）能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，圆的对称性进行计算或证明；（3）养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.知识点01 圆的定义及性质1．圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．【注意】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.【注意】①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2．圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.【注意】①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3．两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线).知识点02 与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.【注意】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.【注意】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3．同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4．等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【注意】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.考法01 圆的定义【典例1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，综上所述，四个说法中正确的只有1个，故选：A．【即学即练】下列说法，其中正确的有（ ）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误；②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确；③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误；④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确．故选：B．【典例2】如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若，，则点B的坐标是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设点B的坐标为（x，y），∵AB是⊙M的直径， ∴M点为AB的中点，∵A（a，b），M（1，0），，∴1＝，0＝，解得：x＝2−a，y＝−b，∴B点坐标为（2−a，−b）．故选：A．【即学即练】如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴OA=，∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，∴，∴，∵点C为x轴负半轴上的点，∴C，故选：C．考法02 圆的有关概念【典例3】如图，图中的弦共有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，故选B．【即学即练】如图，圆的弦中最长的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是．故选：．【典例4】下图中是圆心角的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B、不是圆心角，故不符合题意；C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；故选：C．【即学即练】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．题组A 基础过关练1．圆有（ ）条对称轴．A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】D【详解】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条，所以，圆有无数条对称轴．故选：D．2．已知⊙O中最长的弦为10，则⊙O的半径是（ ）A．10 B．20 C．5 D．15【答案】C【详解】∵圆当中最长的弦是直径，∴直径为10，∴半径为．故选：C3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（ ）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【详解】解：∵AD∥OC，∴∠AOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，∴∠AOD=180-70°-70°=40°．故选：D．4．下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，真命题有3个，故选：C．5．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．【答案】B【详解】A．所对的圆心角应为∠AOD，所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为，故A选项错误；B．所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB，所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项正确；C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误；D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误．故选：B．6．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（ ）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】∵AB⊥CD，∴，CE＝DE，②正确，∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正确，∴∠OCE＝90°−40°＝50°，④正确；又，故①错误；故选：C．7．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝_____.【答案】3【详解】解：∵在⊙O中，，AB＝3，∴AC=AB=3．故答案为：3．8．一个圆的直径是4cm，周长是______cm．【答案】【详解】圆的直径是，圆的周长是，故答案为：．9．如图，三角形是直角三角形，其中O为圆心．已知三角形面积是，求圆形面积．【答案】【详解】解：∵OA=OB∴△AOB是等腰直角三角形∵=10∴∴圆的面积为答：圆的面积是10．（1）如果把人的头顶和脚底分别看做一个点，把地球赤道看做一个圆，那么身高的小明沿地球赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”了多少米？先猜一猜，再算一算，看看你的猜想如何．（2）假设小明在某个半径为的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底又多“走”了多少米呢？在半径为的星球上情况又如何呢？【答案】（1）他的头顶比脚底多“走”了3π米；（2）小明在半径为和的星球上环绕一周，头顶比脚底都多“走”了3π米．【详解】解：（1）他的头顶比脚底多“走”了3π米．设地球的半径是Rm，则人头绕地球环形时，人头经过的圆的半径是（R＋1.5）m．地球的周长是2πRm，人头环形一周的周长是2π（R＋1.5）m，因而他的头顶比脚底多行的路程＝2π（R＋1.5）−2πR＝3π（m）．（2）当小明在某个半径为1km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”的路程＝2π（1000＋1.5）−2π•1000＝3π（m），当小明在某个半径为10km的星球上沿着其赤道环行一周，他的头顶比脚底多“走”的路程＝2π（10000＋1.5）−2π•10000＝3π（m）．题组B 能力提升练1．以下说法中：①任一多边形的外角中最多有三个是钝角②对顶角相等③三角形的一个外角等于两个内角的和④两直线被第三条直线所截，同位角相等⑤弧分为优弧和劣弧．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：①多边形的外角和是360°，若外角中钝角的个数超过3个，则外角的和就超过360°，所以最多有3个外角，正确；②对顶角相等，正确；③三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和，错误；④两直线平行，同位角相等，错误；⑤弧分为优弧、劣弧和半圆，错误．∴正确的结论是①②．故选：B．2．如图，为半圆O的直径，，平分，交半圆于点D，交于点E，则的度数是( )A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接OD平分，故选：B．3．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【详解】解：∵是的直径，∴OA=OC，。
