巧用向量求解共线、共面问题 证明三点共线和四点共面是空间向量的重要应用．解决这类问题的关键是把三点共线和四点共面问题分别转化为向量共线和向量共面问题．依据共线向量、共面向量定理和向量根本定理可以有下面的具体结论： 〔1〕Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线存在实数x，使存在惟一的一对实数x，y，使得，且． 〔2〕Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共面与共面存在实数对，使存在惟一的一组实数x，y，z，使得，且． 下面举例说明其应用． 一、三点共线问题 例１ 在空间中，点，求证：点Ａ、Ｂ、Ｃ共线． 证明：由，得． 因为，所以． 故Ａ、Ｂ、Ｃ共线． 点评：此题通过向量的坐标运算转化为向量关系，运用方法〔１〕得证． 例2 ．又点Ｏ、Ａ、Ｂ不共线，如果a=3c，b=2d，，．试问：t为何值时，Ｃ、Ｄ、Ｅ三点共线？ 解析：． 由于点Ｏ、Ａ、Ｂ不共线，得不共线，假设使点Ｃ、Ｄ、Ｅ共线，那么有3t+2t=1，解得． 故当时，Ｃ、Ｄ、Ｅ三点共线． 点评：此题先表示为向量之间的线性关系，然后直接运用〔１〕的结论求解． 二、四点共面问题 例3 正方体，Ｐ、Ｍ为空间任意两点，假设，试问Ｍ点是否一定在平面内？并证明你的结论． 解析： 由，得Ｍ、Ｂ、、四点共面． 故Ｍ点在平面内． 点评：此题运用空间向量的加、减与数乘运算，转化向量之间的关系后，依据方法〔２〕得证． 例4 如图，矩形所在平面外一点Ｐ，连接PA、PB、PC、PD． 〔1〕四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA的重心Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ是否共面？ 〔2〕假设四点共面，请指出此面与面?琢的关系． 解析：〔１〕连结并延长分别交于点Ｍ、Ｎ、Ｒ、Ｑ，那么Ｍ、Ｎ、Ｒ、Ｑ分别为边的中点． 因此四边形是平行四边形，且，，，． 又 。
而，得． 显然，四点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ共面； 〔2〕由〔1〕知， 从而面，即面． 又，∴． 从而面，即面． 由于，故面面． 点评：此题结合向量的加、减运算，将所求解的问题转化为方法〔1〕，从而产生结论，在第〔2〕小题中用线面平行的判定定理得到线面平行．巧用解题 两个向量a、b的数量积具有性质：，当且仅当a与b同向时取等号．此不等式结构简单、形式隽永、内容丰富．运用它可以巧妙地解决求最值和证明不等式等问题． 一、巧求最值 例１ ，，求的最小值． 解： ． 设， ， 那么，，． ∵，∴， 即． 故的最小值为9． 例2 求实数x、y的值，使得取得最小值． 解：令，， 那么， ， ． 由，得，即，当且仅当，即时，取得最小值． 故所求x、y的值分别为． 二、巧证不等式 例3 设三角形三边长为a、b、c，且a+b+c=2p．求证：． 证明：构造空间向量，设，那么 ∴原不等式成立． 例４ x、y、z都是正实数，求证：． 证明：设，， 那么，， 由于，得，即．∴原不等式成立．。
