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1、第十一讲 乘法原理与加法原理知识提要理解和初步掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。加法原理：N= m1m2mn。乘法原理： N= m1m2mn。经典例题家桥学校ABCDGEF例1 小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4条路可以走（如下图）。小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？分析与解：把从小刚家到学校的路分为两步。第一步从家到桥，第二步从桥到学校。这两步中每一步都不能单独走完从家到学校的路，只有两步合在一起，才能完成。从图中看出从家到学校共有12种不同的走法：AD AE AF AG BD BE BF BG CD CE CF CG根据此
2、题，得出如下结论：乘法原理 要完成一项任务，由几个步骤实现，第一步有m1种不同的方法；第二步有m2种不同的方法；第n步有mn种不同的方法；那么要完成任务共有：N= m1m2mn。5876例2 有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有：432=24（个）例3：由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析与解：要求奇数，所以个位数字只能取1、3、5中的一个，有3种取
3、法；十位数字可以从余下的五个数字中任取一个，有5种不同取法；百位数字还有4种取法；千位数字只有3种取法。由乘法原理，共可组成： 3543180（个）没有重复数字的四位奇数。例4：下图为44的棋盘，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行每列只能出现一个棋子。问：共有多少种不同的放法？ 分析与解：四个棋子要一个一个地放，故可看做分四步完成任务，第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同方法；第二步放棋子B，放A棋子的一行和一列都不能放B，还剩下9个方格可以放B，所以B有9种方法；第三步放C，再去掉放B的行和列，还有4个方格可以放C，故C有4种放法；最后放
4、D，再去掉C所在的行和列，只剩下一个方格放D了，D只有一种方法，由乘法原理，共有 16941576（种）不同放法。 在解题时应注意加法原理和乘法原理的区别，往往是要综合使用的。例5 从北京到郑州可以坐飞机，乘火车，还可以乘汽车。一天中有飞机2班，火车有3趟，汽车有5趟。同一天中从北京到郑州乘坐以上三种交通工具，共有几种不同的走法？分析与解：三种交通工具中的任何一种都可以到达目的地，那么每类交通工具中有几中不同的方法。（飞机2班，火车3趟，汽车5趟）因此，要到达目的地应有235=10不同的方法。根据此题，得出如下结论：加法原理 要完成一种任务有几类办法，在第一类办法中有m1中不同方法；在第二类办
5、法中有m2中不同方法；在第n类办法中有mn中不同方法。在这些不同的方法中，每一种方法都能独立完成任务，那么完成这一任务共有：N= m1m2mn。例6：如图：从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。那么，从甲地到丙地共有多少种不同走法？ 解：从甲地到丙地共有两类不同走法。 第一类：由甲地途径乙地到丙地。这时要分二步走。第一步，从甲地到乙地有4种走法；第二步从乙地到丙地有2种走法。据乘法原理，从甲地经乙地到丙地共有： 428种不同走法。 第二类：从甲地直接到丙地，有3种走法。由加法原理，从甲地到丙地若有 8311 种不同的走法。例7：有两个相同的正方体，每个正
6、方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体任意放到桌面上，向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形？ 解：两个数字之和为偶数，这两个数字的奇偶性必相同，所以分两大类。 第一类：两个数字同奇，第一个正方体有3种可能，第二个正方体也有3种可能，由乘法原理，共有339种不同的情形。 第二类：是两个数字同偶。也有9种不同的情况。 据加法原理：两个正方体向上一面数字之和为偶数。共有： 9918种不同的情况。基本训练1.某校六一班有35人，六二班有40人，六三班有37人。从中选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？ 2.某校六一班第一小队有12人，第二小队有11人，第三小队有13人。从每个
7、小队中各选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？ 3. 某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方式？4如图所示，三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点，且不在同一直线上的三个点一定不共线，在每条直线上各取一点可以画一个三角形，如三角形BEH，问可以画多少个不同的三角形？5. 由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个(1)三位数？(2)三位偶数？(3)没有重复数字的三位偶数？(4)百位有8的没有重复数字的三位数？(5)百位为8的没有重复数字的三位偶数？拓展提高 1某个地区的电话号码是八位数，如果首位不是0，其余各位上可以是09这十个
8、数字中的任意一个，不同数位上的数字可以重复，那么，这个地区可以有多少个电话号码？2两位数中个位数字加十位数字的和是双数，这样的两位数一共有多少个？3某公司买了8辆汽车，这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里，要想把每辆汽车的钥匙挑出来，最多要试多少次？奥赛训练1 超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜，另一个货架上摆放着8种不同的水果。如果妈妈从这两个货架中至少选购一种，最多选购两种，一共有多少种不同的选购方法？2 从130这三十个自然数中，选出两个数，使它们的和大于30，一共有多少中不同的选法？3自然数11000中，“0”这个数字一共出现了多少次？ 第十二讲 简单的排列与组合知识提要1、理解和初步
9、掌握：加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。加法原理：N= m1m2mn。乘法原理： N= m1m2mn。排列：= n（n-1）（n-2）（n-m+1）（mn）组合：=2、能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法解决一些简单的实际问题。经典例题5876例1 有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？分析与解：用卡片组成三位数要分成三步，第一步选取百位上的数字，可以有4种选择；第二步选取十位上的数字，可以有3种选择；第三步选取个位上的数字，可以有2种选择。所以可以组成不同的三位数共有：432=24（个）排列的公式： = n（n-1）（n-2）（n-m+
10、1）（mn）例如用5、6、7、8、9组成没有重复数字的四位数，可以组成多少个？ = n（n-1）（n-2）（n-m+1）（mn）=5(51)(52)(54+1)= 5432=120例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支，现在用三种颜色的花各一支扎成一束，可以扎成多少不同的束？分析与解：从n个不同元素中，任意取出m个元素（mn），组成一组，叫做从n个不同元素取m个元素的一个组合，所组合的个数，叫做组合数。用符号表示。组合的公式：=排列与组合的区别：排列与元素的顺序有关： 例如从7个人中选出正副组长，两个人有正、副之分。组合与元素的顺序无关：例如从7个人中选出两个人去开会，没有正、副之分。因为所
11、扎成的每一束花，与颜色的排列顺序无关，所以是组合问题。=（543）（321）= 606= 10 答：一共可以扎成10种不同的花束。例3 从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站，那么，火车票应有多少种不同票价？分析与解： 因为从A到B和从B到A火车的票价是相同的，所以是组合问题。 =（109）（21） = 902 = 45答：火车票应有45种不同票价。例4 平面上共有7个点（没有3个点在同一条直线上），通过这些点可以画出多少个三角形或四边形？分析与解：通过这些点画三角形和四边形时，这些点没有顺序关系，所以先根据组合公式分别求出三角形和四边形的个数，再根据加法原理把两种的个数相加。+=
12、 (765)(321) + (7654)(4321)= 35+35= 70 答: 可以画出70个三角形或四边形。例5 如图。共有多少个平行四边形？分析与解： 根据数长方形个数的方法，“长边”上8个点中选两个点的组合乘以宽边上6个点中两个点的组合。= (87)(21)(65)(21)=2815=420答:共有420个平行四边形。基本训练1.一次乒乓球比赛，最后有6名选手进入决赛，如果赛前写出冠、亚军名单，可以写出多少种？2.在一张纸上有9个点，没有三个点在一条直线上。通过这些点一共可以画出多少条线段？3.第三小队共有队员12人，要选出正、副小队长各一人，选出的结果可以有多少种不同的情况？ 4.六
13、一班有40名同学，现在要选派2名同学参加国庆活动，共有多少种不同的选法？ 5.小红有4件不同花色的衬衫，有3条不同样式的裙子，如果用一件衬衫和一条裙子搭配成一套，一共可以搭配成多少套？6.学校食堂今天中午的主食有：米饭、馒头、花卷和烙饼，炒菜有：炒芹菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。张老师要买一种主食和一种炒菜作为中午饭，张老师可以有多少种不同的买法？拓展提高 1. 用0、1、2、3、4、5、6写出没有重复数字的四位数，可以写出多少个？ 2.用0、1、2、3、4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数，一共可以写出多少个？3. 六一班的图书角现在有6本科技书，有8本故事书，有3本词典，小刚想借其中的一本，一共可以有多少种不同的借法？ 4.有6名学生和班主任老师照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，班主任要站在前排中间。他们一共有多少种不同的排法？ 5.有7名学生毕业前照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，张刚说：“我不站在后排的边上。”。他们一共有多少种不同的排法？6.有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，只
