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1、1,定积分,第六章,2,一、曲边梯形的面积,第一节 定积分的概念与性质,由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (ab)及x轴所围成的平面图形的面积,3,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,4,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,5,曲边梯形如图所示，,分割,近似,6,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,（1）分割,（3）求和,（4）极限,（2）近似,7,二、定积分的定义,定义,8,记为,积分上限,积分下限,积分和,9,说
2、明：,1.,2. 有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；,3.,可积的充分条件：,10,4.,规定:,11,三、定积分的几何意义,曲边梯形的面积,曲边梯形面积的相反数,12,若要求阴影部分的面积, 则为,13,例1 利用定义计算定积分,解,14,假设下面涉及到的函数均是可积的,四、定积分的基本性质,性质1,由定义,可直接得出.,15,性质2,此性质可以推广到有限多个函数的情形.,(k为常数),这个性质称为定积分的线性性.,综合(1)、(2)，可得,证略.,16,说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.,例如,这个性质称为定积分的区间可加性.,则,性质3,证略.,17,证,性质4,由极限的保号性可知,证略.,18,推论1,证,19,推论2,证,即,20,性质5（估值定理）,证,由性质1和性质2，有,再由性质4推论1，得,21,性质6（定积分中值定理）,证,由闭区间上连续函数的介值定理知，,即,估值定理,22,积分中值公式的几何解释：,上的平均值.,23,解,例2,于是,24,证,例3,即 f (x) 单调下降，,25,证,例4,由积分中值定理，,26,证,例4,27,练习：,P208 习题六,
