《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第八章 立体几何8.5 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第八章 立体几何8.5 （23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.5 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 最新考纲考情考向分析 1.以立体几何的定义、公理和定理为出 发点，认识和理解空间中线面垂直的有 关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证 明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的 重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、 面面垂直的判定及其应用等内容题型主要 以解答题的形式出现，解题要求有较强的推 理论证能力，广泛应用转化与化归的思想. 1直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 互相垂直，记作 l，直 线 l 叫做平面 的垂线，平
2、面 叫做直线 l 的垂面 (2)判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则该直 线与此平面垂直 Error!Error!l 性质定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行 Error!Error!ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一 条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成 的角是 0的角 (2)范围：. 0， 2 3平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
3、二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直 Error!Error! 性质定理 两个平面垂直，则一个平 面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直 Error!Error!l 知识拓展 重要结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一
4、个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一 个重要方法) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行 (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)直线 a，b，则 ab.( ) (4)若 ，a，则 a.( ) (5)若直线 a平面 ，直线 b，则直线 a 与 b 垂直( ) (6)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) 题组二 教材改编 2P73T1下列命题中
5、错误的是( ) A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么 l平面 D如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 答案 D 解析 对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的 关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其他选项均是正确的 3P67T2在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_心； (2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心 答案
6、(1)外 (2)垂 解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 RtPOA，RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB， 所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心 (2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面 PAB，又 AB平面 PAB，PCAB， ABPO，POPCP， AB平面 PGC，又 CG平面 PGC， ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 上的高 同理可证 BD，AH 分别为ABC 边 AC，BC 上的高， 即 O 为ABC 的垂心 题组三 易错自纠 4(2017湖南六校联考)
7、已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下列 给出的条件中一定能推出 m 的是( ) A 且 m B 且 m Cmn 且 n Dmn 且 答案 C 解析 由线面垂直的判定定理，可知 C 正确 5.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O，M，N 分别是线段 BD，DD1，D1C1的 中点，则直线 OM 与 AC，MN 的位置关系是( ) A与 AC，MN 均垂直 B与 AC 垂直，与 MN 不垂直 C与 AC 不垂直，与 MN 垂直 D与 AC，MN 均不垂直 答案 A 解析 因为 DD1平面 ABCD，所以 ACDD1， 又因为 ACBD，DD1BDD，所
8、以 AC平面 BDD1B1， 因为 OM平面 BDD1B1，所以 OMAC. 设正方体的棱长为 2，则 OM， 123 MN，ON， 112145 所以 OM2MN2ON2，所以 OMMN.故选 A. 6.如图所示，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面，点 C 是 圆周上不同于 A，B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC 的中点，则下列 结论正确的是( ) AMNAB B平面 VAC平面 VBC CMN 与 BC 所成的角为 45 DOC平面 VAC 答案 B 解析 由题意得 BCAC，因为 VA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 VABC.因为 ACVAA，所以
9、BC平面 VAC.因为 BC平面 VBC，所以平面 VAC平面 VBC.故选 B. 题型一题型一 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质 典例 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点 证明：(1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明 (1)在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， PACD. 又ACCD，PAACA，PA，AC平面 PAC， CD平面 PAC. 而 AE平面 PAC，CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA. E 是 PC 的
10、中点，AEPC. 由(1)知 AECD，且 PCCDC，PC，CD平面 PCD， AE平面 PCD， 而 PD平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB. 又ABAD，且 PAADA， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD， ABPD.又ABAEA，AB，AE平面 ABE， PD平面 ABE. 思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性 (ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此， 判定定理与性质定理的合理
11、转化是证明线面垂直的基本思想 跟踪训练 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1的中点为 D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面 AA1C1C； (2)BC1AB1. 证明 (1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点， 因此 DEAC. 又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C， 所以 DE平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以 CC1平面 ABC. 因为 AC平面 ABC， 所以 ACCC1. 又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1， BC平面 BCC1B1，BCCC1C，
12、所以 AC平面 BCC1B1. 又因为 BC1平面 BCC1B1， 所以 BC1AC. 因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形， 因此 BC1B1C. 因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC， 所以 BC1平面 B1AC. 又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1. 题型二题型二 平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质 典例 (2018开封模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中， ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点 (1)求证：CE平面 PAD； (2)求证：平面 EFG平面 EMN.
13、 证明 (1)方法一 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH 綊 AB. 1 2 又 CD 綊 AB， 1 2 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CEDH. 又 DH平面 PAD，CE平面 PAD， 所以 CE平面 PAD. 方法二 连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点， 所以 AF AB. 1 2 又 CD AB， 1 2 所以 AFCD. 又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平行四边形 因此 CFAD，又 CF平面 PAD，AD平面 PAD， 所以 CF平面 PAD. 因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点
14、，所以 EFPA. 又 EF平面 PAD，PA平面 PAD， 所以 EF平面 PAD. 因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD. 又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD. (2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA. 又因为 ABPA， 所以 EFAB，同理可证 ABFG. 又因为 EFFGF，EF，FG平面 EFG， 所以 AB平面 EFG. 又因为 M，N 分别为 PD，PC 的中点， 所以 MNCD，又 ABCD，所以 MNAB， 所以 MN平面 EFG. 又因为 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN. 引申探究 1在本例条件下，证明：平面 EM
15、N平面 PAC. 证明 因为 ABPA，ABAC， 且 PAACA，PA，AC平面 PAC， 所以 AB平面 PAC. 又 MNCD，CDAB，所以 MNAB， 所以 MN平面 PAC. 又 MN平面 EMN， 所以平面 EMN平面 PAC. 2在本例条件下，证明：平面 EFG平面 PAC. 证明 因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点， 所以 EFPA，FGAC， 又 EF平面 PAC，PA平面 PAC， 所以 EF平面 PAC. 同理 FG平面 PAC. 又 EFFGF， 所以平面 EFG平面 PAC. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a) (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一
