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1、华师大版八年级下册第章反比例函数与三角形综合题专训（含答案）一、反比例函数与等腰三角形结合试题、（2015常州）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB的上方（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N ，求证： PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于 P、B 之间的动点（与点P、B 不重合），连接AQ、BQ，比较PAQ与PBQ 的大小，并说明理由【解答】解：（1）k=4，S PAB=15提示：过点A作ARy轴于R ，过点
2、P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C ，如图1，把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y= ，得k=4解方程组 ，得到点A的坐标为（ 4，1），则点A与点B关于原点对称，OA=OB，SAOP=SBOP，SPAB=2SAOP设直线AP的解析式为y=mx+n ，把点A（4， 1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3，SAOP=SAOC+SPOC= OCAR+ OCPS= 34+ 31= ，SPAB=2SAOP=15；（2）过点P作PHx轴于H，如图2B（4，1），则反比例函数解析式为 y= ，
3、设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立 ，解得直线PA的方程为y= x+ 1，联立 ，解得直线PB的方程为y= x+ +1，M（m4，0），N（m+4 ，0 ），H（ m，0），MH=m（m 4）=4，NH=m+4m=4 ，MH=NH，PH垂直平分MN，PM=PN，PMN是等腰三角形；（3）PAQ= PBQ理由如下：过点Q作QTx轴于T，设AQ 交x轴于D ，QB的延长线交x 轴于E，如图3可设点Q为（c， ），直线AQ 的解析式为y=px+q，则有，解得： ，直线 AQ的解析式为y= x+ 1当y=0时， x+ 1=0，解得：x=c 4，D（ c4，
4、0）同理可得E（c+4，0），DT=c（c4） =4，ET=c+4 c=4，DT=ET，QT垂直平分DE，QD=QE，QDE=QEDMDA=QDE，MDA=QEDPM=PN，PMN= PNMPAQ=PMNMDA，PBQ=NBE= PNMQED，PAQ=PBQ试题、（2016黄冈校级自主招生）如图，直线OB是一次函数y=2x的图象，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB上且 ACO 为等腰三角形，求C点坐标【解答】解：若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC 1=2设C 1（x，2x），则得x 2+（2x 2） 2=22，解得 ，得C 1（ ），若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为
5、顶点，则OC 2=OC3=OA=2，设C 2（x，2x），则得x 2+（2x ） 2=22，解得 = ，C2（ ），又由点C 3与点C 2关于原点对称，得C 3（ ），若此等腰三角形以OA为底边，则C 4的纵坐标为1，从而其横坐标为 ，得C 4（ ），所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：（ ），（ ），（），C 4（ ）试题、（2011广西来宾，23，10分）已知反比例函数的图像与一次函数图像交于点A（1，4）和B（m, -2）.(1)求这两个函数的关系式 .（2）如果点C与点A关于x轴对称，求 ABC的面积。（3）点P是X轴上的动点，是等腰三角形，求点的坐标。二、反比例函数与等边三角形结
6、合试题、如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以 OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C 恰好落在直线AB上，则点C 的坐标为（1，2）解： 直线 y=2x+4与y轴交于B点，x=0时，得y=4 ， B（0，4）以 OB为边在y 轴右侧作等边三角形 OBC，C在线段OB的垂直平分线上，C点纵坐标为2将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=1故答案为：（1，2）试题、（2015黄冈校级自主招生）如图，AOB 和ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线 （x0）上，则图中S OBP=（）A B C D4【解答】解：AOB 和ACD 均为正三角形
7、，AOB=CAD=60，ADOB，SABP=SAOP，SOBP=SAOB，过点B作BE OA于点E，则S OBE=SABE= SAOB，点 B在反比例函数y= 的图象上，SOBE= 4=2，SOBP=SAOB=2SOBE=4故选D试题、（2013黄冈模拟）如图，P 1OA1、 P2A1A2是等腰直角三角形，点P 1、P 2在函数的图象上，斜边OA 1、A 1A2都在x轴上，则点 A2的坐标是（）A（ ，0） B（ ，0） C（ ，0） D（ ，0）【解答】解：（1）根据等腰直角三角形的性质，可设点P 1（a，a），又y= ，则a 2=4，a=2（负值舍去），再根据等腰三角形的三线合一，得A 1
8、的坐标是（4，0），设点P 2的坐标是（4+b ，b），又y= ，则b（4+b）=4，即b 2+4b4=0，又 b 0， b=2 2，再根据等腰三角形的三线合一，4+2b=4+4 4=4 ，点 A2的坐标是（4 ，0）故选C三、反比例函数与直角三角形结合试题、（2015大连模拟）如图，以Rt AOB的直角顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，C为 AB的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与C 重合，并绕点C旋转，直角边CM、CN与边OB、OA相交于E、F（1）如图1，当ABO=45时，请直接写出线段CE 与CF的数量关系：CE=CF（2）如图2，当ABO=30时，请直接写
9、出CE 与CF的数量关系：FC= EC（3）当ABO=时，猜想CE与CF的数量关系（用含有的式子表示），并结合图2证明你的猜想（4）若OA=6 ， OB=8，D为AOB的内心，结合图3，判断D是否在双曲线y= 上，说明理由【解答】解：（1）如图1，连接OC，AOB=90， MCN=90，四边形OFCE共圆，ABO=45， C为AB的中点，EOC=FOC=45，CE=CF，故答案为：CE=CF（2）如图2，连接OC，AOB=90， MCN=90，四边形OFCE共圆，此圆为G ，设半径为r，作GPFC，连接GF，ABO=30， C为AB的中点，BOC=30，FOC=60，可得FGP=60，FC=2
10、FP= r，同理可得EC=r，FC= EC故答案为：FC= EC（3）如图2，连接OC，AOB=90， MCN=90，四边形OFCE共圆，此圆为G ，设半径为r，作GPFC，连接GF，ABO=，C为AB的中点，BOC=，FOC=90，可得 FGP=90，FC=2FP=2rsin（90），同理可得EC=2rsin ，FC：EC=sin（ 90）：sin ，FC= EC（4）如图3，OA=6，OB=8，AB= = =10，设OC为x，AC=6 x，D为 AOB的内心，OE=x，BE=8x，8x+6x=10，x=2，点 D（ 2，2）代入双曲线y= 不成立，D不在双曲线y= 上，四、反比例函数与等腰
11、直角三角形结合试题、如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3都在x轴上，点B 1，B 2，B 3都在直线y=x上，OA 1B1，B 1A1A2，B 2B1A2， B2A2A3，B 3B2A3都是等腰直角三角形，且OA 1=1，则点B 2015的坐标是（）A C解： OA1=1， 点A 1的坐标为（1，0），OA1B1是等腰直角三角形，A1B1=1，B 1（1，1），B1A1A2是等腰直角三角形，A1A2=1，B 1A2= ，B2B1A2为等腰直角三角形，A2A3=2，B 2（2，2），同理可得，B 3（2 2，2 2），B 4（2 3，2 3），B n（2 n1，2 n1），点 B2
12、015的坐标是（2 2014，2 2014）故选：A试题、（2015仪征市一模）如图，点A 是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接 AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为y= 【解答】解：连结OC，作CDx轴于D ，AE x轴于E，如图，设A点坐标为（a， ），A点、B点是正比例函数图象与双曲线y= 的交点，点 A与点 B关于原点对称，OA=OBABC为等腰直角三角形，OC=OA，OCOA，DOC+AOE=90，DOC+DCO=90，DCO=AOE，在 COD和OAE
13、中CODOAE（AAS），OD=AE= ，CD=OE=a，C点坐标为（ ，a ）， a=4，点 C在反比例函数y= 图象上故答案为y= 试题、（2015潮阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE若OD=5，tanCOD= （1）求过点D的反比例函数的解析式；（2）求DBE的面积；（3）x轴上是否存在点P使OPD 为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）四边形OABC是矩形，BC=OA，AB=OC，tanCOD= ，设 OC=3x，CD=4x，OD
14、=5x=5，x=1，OC=3，CD=4，D（ 4， 3），设过点D的反比例函数的解析式为： y= ，k=12， 反比例函数的解析式为： y= ；（2）点D是BC的中点，B（8，3），BC=8，AB=3，E点在过点D的反比例函数图象上，E（ 8， ），SDBE= BDBE= =3；（3）存在，OPD为直角三角形，当 OPD=90时，PD x轴于 P，OP=4，P（ 4，0），当ODP=90 时，如图，过D作DHx轴于H，OD2=OHOP，OP= = P（ ，O），存在点P使OPD为直角三角形，P（ 4，O），（ ，O）试题、（2015历下区模拟）如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC， A=90，AB=AC，A（2， 0）、B（0，d）、C （3，2）（1）求d的值；（2）将ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内 B、C两点的对应点B C正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时直线B C的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC 交y轴于点G ，作C Mx轴于MP是线段B C上的一点，若PMC和PBB面积相等，求点 P坐标【解答】解：（1）作CNx轴于点N 在RtCNA和RtAOB中，RtCNARtAOB（HL），则BO=AN=3 2=1，d=1；（2）设反比例函数为y= ，点 C和B 在该比例函数图
