《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_1_1 空间向量及其加减运算 3_1_2 空间向量的数乘运算学案 新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_1_1 空间向量及其加减运算 3_1_2 空间向量的数乘运算学案 新人教a版选修2-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金，不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用.(重点、难点)基础初探教材整理1空间向量的概念阅读教材P84P85第二自然段内容，完成下列问题.名称定义空间向量在空间中，具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_单位向量长度或模为_的向量零向量_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量_相反且_相等的向量【答案】大小方向长度或模
2、1长度为0相同相等方向模在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有()A.1个 B.2个C.3个D.4个【解析】与向量相等的向量有，共3个.【答案】C教材整理2空间向量的线性运算阅读教材P85第三自然段P863.1.2第二自然段，完成下列问题.1.(1)空间向量的加、减法运算(如图311)图311_；_.(2)运算律：ab_；(ab)c_.【答案】ababbaa(bc)2.空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a的乘积_仍然是一个_，称为向量的数乘运算.当0时，a与向量a方向_；当0时，a与向量a方向_；当0时，a_；a的长度是a的长度的_倍.(2)运
3、算律：(ab)_；(a)_.【答案】(1)a向量相同相反0|(2)ab()a1.已知空间四边形ABCD中，a，b，c，则等于()A.abc B.abcC.abcD.abc【解析】abc.【答案】C2.在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为_.【解析】延长DE交边BC于点F，则有，故0.【答案】0教材整理3共线向量和共面向量阅读教材P86第三自然段P88“思考”以上内容，完成下列问题.1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫做_或平行向量.(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数使_.【答案】(1
4、)互相平行或重合共线向量(2)ab2.共面向量(1)定义：平行于_的向量叫做共面向量.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_.推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使_；或对空间任一定点O，有xy.【答案】(1)同一个平面(2)px ay bxy判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量.()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量.()(3)如果t，则P，A，B共线.()(4)空间中任意三个向量一定是共
5、面向量.()【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型空间向量的有关概念(1)给出下列命题：零向量没有确定的方向；在正方体ABCDA1B1C1D1中，；若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；在四边形ABCD中，必有.其中正确命题的序号是_.(2)如图312所示，在平行六面体ABCDABCD中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有_；与向量相反的向量有_.(要求写出所有适合条件的向量)图312【自主解答】(1)正确；正确，因为与的大小和方向均相同；|a|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有.综上可知，正确命题为.(2)根据相等向
6、量的定义知，与向量相等的向量有，.与向量相反的向量有，.【答案】(1)(2)，1.在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.2.由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决.3.零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.再练一题1.下列说法：若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；若向量，满足|，且与同向，则；若两个非零向量与满足0，则，为相反向量；的充要条件是A与C重合，B与D重合.其中错误的个数为() 【导学号：37792102
7、】A.1 B.2C.3D.4【解析】错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.正确.0，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.错误.由，知|，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.【答案】C空间向量的线性运算如图313，已知正方体ABCDABCD，点E是上底面ABCD的中心，求下列各式中x，y，z的值.图313(1)xyz；(2)xyz.【精彩点拨】利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据向量对应系数相等，求出x，y，z的值.【自主解答】(1)因为，又xyz，所以x1，y1，z1.(2)因为()，又xyz，
8、所以x，y，z1.用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；(2)要注意数形结合思想的运用.再练一题2.如图314，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG2GN，设a，b，c，试用a，b，c表示向量.图314【解】()abc.向量的共线及判定如图315，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形.图315【精彩点拨】(1)与共线吗？怎样证明？(2)|与|相等吗？【自主解答】E，H分别是AB，
9、AD的中点，则()()，且|.又F不在直线EH上，四边形EFGH是梯形.1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.2.判断或证明两向量a，b(b0)共线，就是寻找实数，使ab成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.再练一题3.如图316，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.图316求证：E，F，B三点共线. 【导学号：37792103】【证明】设a，b，c，因为2，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，所以E，F，B三点共线.探究共研型向量共
10、面探究1P，A，B，C四点共面的四种充要条件.【提示】(1)存在有序实数对(x，y)，使得xy.(2)对于空间任意一定点O，有xy.(3)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得xyz(其中xyz1).(4).探究2如图317所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.图317求证：向量，共面.【提示】因为M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M
11、是否在平面ABC内.【精彩点拨】(1)是否存在实数x，y，使xy？(2)如何证明四点共面？【自主解答】如图：(1)由已知，得3，()()，.向量，共面.(2)由(1)知，向量，共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M，M，A，B，C四点共面，点M在平面ABC内.1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若axbyc，则向量a，b，c共面；(2)寻找平面，证明这些向量与平面平行.2.对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：(1)xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)对空间任一点O，xyz(xyz1)；(4)(或，或
12、).再练一题4.如图318，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.图318【证明】分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，且，.由题意知四边形MNQR是平行四边形，所以()()()()().又.所以，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.1.空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则()A.2B.3C.3D.2【解析】23.【答案】B2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有()()；()；()；().A.1个 B.2个C.3个D.4个【解析】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知
