《高考数学二轮复习 考前专题四 数列、推理与证明 第3讲 数列的综合问题讲学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮复习 考前专题四 数列、推理与证明 第3讲 数列的综合问题讲学案 理（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注第3讲数列的综合问题1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式2以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围3将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力热点一利用Sn，an的关系式求an1数列an中，an与Sn的关系an2求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知
2、数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)例1已知等差数列an中，a22，a3a58，数列bn中，b12，其前n项和Sn满足：bn1Sn2(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)a22，a3a58，2d23d8，d1，ann.bn1Sn2(nN*)，bnSn12(nN*，n2)由，得bn1bnSnSn1bn (nN*，n2)，bn12bn (nN*，n2)b12，b22b1，bn为首项为2，公比为2的等比数列，bn2n.(2)由cn，Tn，
3、Tn，两式相减，得Tn1，Tn2.思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1(2017天津市红桥区重点中学八校联考)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2(an2)(nN*)(1)证明：数列an1为等比数列；(2)若bnanlog2(an1)，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.(1)证明Snn2(an2)，当n2时，Sn1(n1)2(an12)，两式相减，得an12an2an1，an2an11，an12(an11)，2(常数)又当n1时，a
4、112(a12)，得a13，a112，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列(2)解由(1)知，an122n12n，an2n1，又bnanlog2(an1)，bnn(2n1)，Tnb1b2b3bn(12222323n2n)(123n)，设An12222323(n1)2n1n2n，则2An122223(n1)2nn2n1，两式相减，得An222232nn2n1n2n1，An(n1)2n12.又123n，Tn(n1)2n12.热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解
5、决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题例2设fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0ann.(1)解方法一由题设fn(x)12xnxn1，所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，则2fn(2)2222(n1)2n1n2n，由得，fn(2)12222n1n2nn2n(1n)2n1，所以fn(2)(n1)2n1.方法二当x1时，fn(x)1，则fn(x)，可得fn(2)(n1)2n1.(2)证明因为fn(0)10
6、，fn112n1220，所以fn(x)在内至少存在一个零点，又fn(x)12xnxn10，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an，由于fn(x)1，所以0fn(an)1，由此可得ana，故an，所以0anan1n.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件(3)不等关系证明中进行适当的放缩跟踪演练2(2016届浙江省宁波市期末)已知数列满足a12，an12(Snn1)(nN*)，令bnan1.(1)求证：是等比数列；(2)
7、记数列nbn的前n项和为Tn，求Tn；(3)求证：，得.又，所以，故80，当n7时，由于S6570，故Sn570(a7a8an)570704780210n6.因为an是递减数列，所以An是递减数列因为An，A882.73480，A976.823100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440 B330 C220 D110答案A解析设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意知，N100，令100n14且nN*，即N出现在第13组之后第n组的各项和为2n1，前n组所有项的和为n2n12n.设N是第n1组的
8、第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则N项的和即第n1组的前k项的和2k1应与2n互为相反数，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n最小为29，此时k5，则N5440.故选A.真题体验1(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.答案1121解析由解得a11，a23，当n2时，由已知可得an12Sn1，an2Sn11，由，得an1an2an，an13an，又a23a1，an是以a11为首项，以q3为公比的等比数列S5121.2(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q.由题意得所以3q25q20，由已知得q0，所以q2，x11.因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn
