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1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注考点13 解三角形热门题型题型1 正弦定理的应用题型2 余弦定理的应用题型3 解三角形的实际应用题型4 解三角形与三角函数的综合应用题型5 解三角形中的最值、范围问题题型1 正弦定理的应用例1 （2016全国甲理13）的内角，的对边分别为，若，则 解析：由题可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.【解题技巧】掌握正弦定理以及相关变形变式1.（2015广东）设的内角，的对边分别为，若，则 解法二：因为且，所以或又，所以，又，由正弦定理得故应填1.题型2 余弦定理的应
2、用例2.（2016全国丙理8）在中，边上的高等于，则（ ）.A. B. C. D.解析 如图所示.依题意，在中，由余弦定理得故选C.【解题技巧】变式1.（2016天津理3）在中，若， ，则（ ）A.1B.2 C.3D.4解析 由余弦定理得，解得.故选A.变式2.（2015安徽）在中，,点在边上，求的长解法二：如图所示，设由余弦定理得，所以在中，设，则，故，即 ，即 由式，式得，即题型3 解三角形的实际应用例3.（2017全国1理17）的内角，的对边分别为，已知的面积为.（1）求的值；（2）若，求的周长.解析： （1）因为的面积且，所以，即.由正弦定理得，由，得.变式1.（2017全国2理17）
3、的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)若，的面积为2，求 解析：（1）依题得因为，所以，所以，得（舍去）或.（2）由可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得变式2.（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 解析 在中，所以，因为，由正弦定理可得，即，在中，因为，所以，所以. 题型4 解三角形与三角函数的综合应用例4.（2016江苏15）在中，（1）求的长；（2）求的值解析：（1）因为，而，所以.由正弦定理，故（2）因为，所以.又，所以，故
4、题型5 解三角形中的最值、范围问题例5.（2016北京理15）在中，.（1）求的大小；（2）求的最大值.解析 （1）由题设可得.由余弦定理，可得.又，所以.变式1.（2015全国1）在平面四边形中，则的取值范围是 .解析 解法一：如图所示，延长，交于点，则可知，且在中，在中，由正弦定理可得，所以由题意可得在中，由正弦定理可得 ，所以又因为，所以的取值范围是 （解法一图） （解法二图）解法二（构造法）：如图所示，构造，使得，则，取边上一点，边上一点，使得若平移使点与点重合，此时四边形退化为，且可在中利用正弦定理求得；若平移使点与点重合，此时四边形退化为，且可在中利用正弦定理求得又因为是平面四边形
5、，所以点应在点与点之间，且不与点与点重合，所以的取值范围是【高考真题链接】1.（2017山东理9）在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）.A. B. C. D.解析 因为，所以，又，得，即.故选A.2.（2015福建）若锐角 的面积为 ，且 ，则 3.（2016上海理9）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 解析 不妨设，则，故，因此4.(2017浙江理14)已知，.点为延长线上的一点，联结，则的面积是_，_.解析 如图所示，取的中点为，在等腰中，所以，所以的面积为因为，所以是等腰三角形，所以，解得5.（2015重庆）在中，的角平分线，则_
6、.解析 如图所示，由正弦定理易得,即，故,即，在，知，即由于是的角平分线，故在中，易得在中，由正弦定理得，即，所以6.（2017天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求和的值；（2）求的值.解析 （1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.由正弦定理，得.（2）由（）及，得，所以，故.7.（2015江苏）在中，已知，（1）求的长；（2）求的值解析 （1）由余弦定理，解得（2）.因为，故，故8.（2015陕西）的内角所对的边分别为，向量与平行（1）求；（2）若，求的面积9.（2015全国2）在中，是上的点，平分，是面积的2倍(1)求 ；(2)若 ，求和的长.解析 (1
7、)根据题意可得右图，由正弦定理得，又因为， 所以得.由正弦定理得.(1) 由题意知，所以. 又因为，所以在和中，由余弦定理得，故由(1)知，所以即所求为，.10.（2015浙江）在中，内角所对的边分别为已知，=.(1)求的值；(2)若的面积为，求的值（2）由得.又，所以由正弦定理得，（或由（1）知）所以，所以，所以11.（2016全国乙理17）的内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求的周长解析 （1）由已知及正弦定理得，即，故，可得，所以.（2）由已知得，.又，所以.由已知及余弦定理得，故，从而.所以的周长为.12.（2016山东理16）在中，角，的对边分别为，已知.（1）求
8、证：；（2）求的最小值.解析：（1）由题意知，化简得，即.因为，所以.从而.由正弦定理得.（2）由（1）知，所以 ，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.13.（2016四川理17）在中，角， 所对的边分别是， ， ，且.（1）求证：；（2）若，求.解析：（1）根据正弦定理，可设，则，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以（2）由已知，根据余弦定理，有.所以.由（1）得，所以，故14. (2017北京理15)在中，.（1）求的值；（2）若，求的面积.15.（2017全国3理17）的内角的对边分别为 ，已知，（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积解析：（1）由，得，即，又，所以，得.由余弦定理得.又因为代入并整理得，解得.（2）因为，由余弦定理得.因为，即为直角三角形，则，得.从而点为的中点，.16.（2015湖南）设的内角，的对边分别为，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.解析（1）由及正弦定理，得,所以，即，又为钝角，因此，故，即.（2）由（1）知，所以，于是，因为,所以,因此，由此可知的取值范围是 .安全生产工作怎么要求都不过份，怎么重视都不过份，安全生产无小事，安全生产责任重于泰山，抓好安全生产工作是极其重要的工作
