《2017-2018学年人教b版选修4-1 1.1.2 相似三角形的性质 学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年人教b版选修4-1 1.1.2 相似三角形的性质 学案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.2相似三角形的性质读教材填要点相似三角形的性质定理(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比(2)性质定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方小问题大思维1两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方2两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方利用性质1求边长或面积例1如图，梯形ABCD，ABCD，E是对角线AC和BD的交点，SDECSDBC13，
2、求：的值思路点拨本题考查相似三角形的判定及性质的应用解答本题需要利用相似三角形的性质求得之比，进而求得的值，最后求得的值精解详析SDECSDBC13，DEDB13，即DEEB12.又DCAB，DECBEA.SDECSBEA14.又DEEBCEEA12，SDECSDEA12.SDECSABD16.即.相似三角形的性质把相似三角形对应边上的高、中线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长1ABCABC，AD和AD分别是ABC和ABC的中线，且ADAD73，下面给出四个结论：BC
3、BC73；ABC的周长与ABC的周长之比为73；ABC与ABC的对应高之比为73；ABC与ABC的对应中线之比为73.其中正确的个数为()A1B2C3 D4解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.答案：D利用相似三角形的性质解决实际问题例2如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC200 mm，高AD300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长思路点拨本题考查相似三角形性质的应用解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助AEHABC求解精解详析设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E
4、、H分别在AB、AC上，ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.因为EHBC，所以AEHABC.所以.所以，解得x(mm)，2x (mm)答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用2如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.(1)图中ABC与ADE是否相似？为什么？(2)求古塔的高度解：(1)ABCADE.BCAE，DEAE，ACBAED90.AA
5、，ABCADE.(2)由(1)得ABCADE，.AC2 m，AE21820 m，BC1.6 m.，DE16 m.答：古塔的高度为16 m.相似三角形性质的综合应用例3如图，已知矩形ABCD的边长AB2，BC3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点连AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F.(1)求证：APEADQ；(2)设AP的长为x，试求PEF的面积SPEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，SPEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)思路点拨本题考查相似三角形的判定及
6、性质的综合应用解答问题(1)只需证明APE和ADQ中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意ADQ的面积为定值，且SPEF(SADQSAPESPDF)；解答问题(3)可作点A关于直线BC的对称点A，利用三点共线解决精解详析(1)证明：因为PEDQ，所以APEADQ，AEPAQD，所以APEADQ.(2)因为APEADQ，所以2.因为ADBC，所以ADQ的高等于AB.所以SADQ3.所以SAPEx2.同理，由PFAQ，可证得PDFADQ，所以2.因为PD3x，所以SPDF(3x)2.因为PEDQ，PFAQ，所以四边形PEQF是平行四边形所以SPEFSPEQF(SADQSAPESPDF)x2x2
7、.所以当x时，即P是AD的中点时，SPEF取得最大值，最大值为.(3)作A关于直线BC的对称点A，连接DA交BC于Q，则这个Q点就是使ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积3如图(1)，已知矩形ABCD中，AB1，点M在对角线AC上，AMAC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.(1)如果AD，求证点B在直线l上；(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为27，求AD的长；(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G.当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为
8、16时，求AE的长是多少？解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，四边形ABCD为矩形，OAAC.AMAC，AMOM.在RtABD中，AB1，AD，BD2.BOOAAB1，AOB是等边三角形，又AMOM，BMAO，点B在直线l上(2)设ADa，则AC.EAMCAD，AMED90，AEMACD，.又AMAC ，AE.由AEHC，得AEMCHM，HC3AE.又BHBCHCa，而S梯形ABHE(AEBH)AB()1.S梯形ABHES梯形EHCD27，S梯形ABHES矩形ABCDa，a，解得a3，即AD3.(3)如图，设l分别交AD、AC、AB于E、M、G三点，则有AEGDCA，.DC1，AE.SAE
9、GAEAG，.，即.AE2，AE.一、选择题1在ABC和DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，如果ABC的周长是16，面积是12，那么DEF的周长、面积依次为()A8,3B8,6C4,3 D4,6解析：AB2DE，AC2DF，AD，ABCDEF，且相似比为2.ABC的周长是16，面积是12，DEF的周长是8，面积是3.答案：A2如图，在四边形ABCD中，EFBC，FGAD，则()A1 B2C3 D4解析：EFBC，又FGAD，1.答案：A3如图所示，已知在ABC中，C90，正方形DEFG内接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，则AFFC等于()A13 B14C12 D23解析：设正
10、方形边长为x，则由AFEACB，可得AFACFECB，即.所以x，于是.答案：C4如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，DEBC且2，那么ADE与四边形DBCE的面积比是()A. BC. D解析：DEBC，ADEABC，.2，.答案：C二、填空题5如图，在RtABC中，ACB90，直线EFBD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F.若SAEGS四边形EGCB，则_.解析：SAEGS四边形EGCB，.由相似三角形的性质定理，得，E为AB的中点由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点EFBC，ACBC，FGAC.又点G为AC的中点，FG为AC的中垂线FCFA.EFBD，E为AB的中
11、点，F为AD的中点，.答案：6如图，在ABC中，D为AC边上的中点，AEBC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BGGA31，BC10，则AE的长为_解析：AEBC，BGFAGE.BFAEBGGA31.D为AC中点，1.AECF.BCAE21，BC10，AE5.答案：57(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_.解析：由CDAE，得CDFAEF，于是229.答案：98ABC是一块锐角三角形余料，边BC12 cm，高AD8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长为_ cm.解析
12、：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为x cm.PNBC，APNABC.，.解得x4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm.答案：4.8三、解答题9如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值解：过D点作DMAF交BC于M，因为DMAF，所以，因为EFDM，所以，即SBDM9SBEF，因为D为AC的中心，且AFDM，则M为FC的中点所以，即SDMCSBDM6SBEF，所以S四边形DEFC14SBEF，因此.10有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC12 cm，高AD8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x cm，则长为2x cm.由HGBC，得AHGABC.得AKADHGBC，所以(8x)82x12，即x(cm)则S矩形EFGH2x2(cm2)如图(2)，矩形的宽MN在BC
