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1、 温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十七)指数型、对数型函数模型的应用举例(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th间的关系为P=P0e-kt.若在前5个小时消除了10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为小时.()A.26B.33C.36D.42【解析】选B.由题意,前5个小时消除了10%的污染物,因为P=P0e-kt,所以(1-10%)P0=P0e-5k,所以k=-15ln0.9.所以P
2、=P0et5ln0.9.当P=50%P0时,有50%P0=P0et5ln0.9.所以t5ln0.9=ln0.5,所以t=5ln0.5ln0.933.即污染物减少50%需要花33h.故选B.2.(2014黄山高一检测)如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%,那么经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为图中的()【解析】选D.设原来的蓄积量为a,则a(1+10.4%)x=ay,故y=1.104x.3.(2013福州高一检测)某研究小组在一项实验中获得一组数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中,最能近似刻画y与t之间关系的是()A.y=2tB.y=2t2C.
3、y=t3D.y=log2t【解题指南】观察散点图结合已学函数图象可得结果.【解析】选D.根据散点图可知与对数函数一致.4.某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是y=1024e-5x,则()A.该函数是增函数B.该函数是减函数C.x=-15lgy1 024D.当x=0时,y=1【解析】选B.显然该函数是减函数,B正确,C,D变形或求值错误,故选B.5.(2014北海高一检测)某化工厂生产的一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,则至少应过滤次才能使产品达到市场要求.(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)()A.6B.7
4、C.8D.9【解析】选C.设过滤n次,则210023n11 000,即23n120,所以nlg120lg23=1+lg2lg3-lg27.4.来源:Z,xx,k.Com又因为nN,所以n8,即至少要过滤8次才能达到市场要求.6.一种商品零售价格2013年比2012年上涨了25%,欲控制2014年比2012年只上涨10%,则2014年应比2013年降价()A.15%B.10%C.12%D.16%【解析】选C.设2012年的零售价格为a元,则2013年的零售价格应该为a(1+25%).再设2014年应比2013年降价x%,则2014年的零售价格为a(1+25%)(1-x%).由a(1+10%)=a
5、(1+25%)(1-x%),解得x=12,即2014年应比2013年降价12%.来源:学科网二、填空题(每小题4分,共12分)7.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数t=-144lg1-N90中,t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间,N表示每分钟打出的字数.则当N=40时,t.(已知lg20.301,lg30.477)来源:学+科+网【解析】当N=40时,则t=-144lg1-4090=-144lg59=-144(lg5-2lg3)=144(2lg3+lg2-1)36.72.答案:36.728.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a(0.5)x+b,现已知该
6、厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为.【解析】由1=a(0.5)1+b,1.5=a(0.5)2+b,得a=-2,b=2,所以y=-2(0.5)x+2,所以3月份产量为y=-20.53+2=1.75(万件).答案:1.75万件9.某种细胞分裂时,由于在分裂过程中,有些细胞会自动消亡,分裂次数n(nN*)与第n次得到的细胞总数y近似地满足关系y=1.5n(nN*),则由1个细胞分裂达到10个细胞所需的分裂次数至少是次(lg3=0.4771,lg2=0.3010).【解析】由1.5n10,两边取对数得lg1.5n1,所以n1lg3-lg25.679,故n=
7、6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)10.家用冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气上层的臭氧层,时间t与臭氧含量Q满足关系式lnQQ0=-t400,其中Q0是臭氧的初始量.(1)随着臭氧的减少,时间t是增加还是减少?(2)经过多少年后,将会有一半的臭氧消失?【解析】(1)由关系式lnQQ0=-t400得,t=-400lnQQ0.又Q00,所以时间t是关于臭氧含量Q的单调递减函数.即随着臭氧的减少,时间t增加.(2)设经过x年后将会有一半的臭氧消失,则ln12Q0Q0=-x400.解得x=400ln2277.3.所以约278年以后将会有一半的臭氧消失.11.(2014大连高一检测)某城市
8、现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式.(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到120万人(精确到1年).(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年自然增长率应该控制在多少?(参考数据1.01291.113,1.012101.127,lg1.20.079,lg20.3010,lg1.0120.005,lg1.0090.0039)【解析】(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%).2年后该城市人口总数为
9、y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.(2)10年后,人口总数为100(1+1.2%)10112.7(万人).(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x=120,x=log1.012120100=log1.0121.2016(年).(4)由100(1+x%)20120,得(1+x%)201.2,两边取对数得20lg(1+x%)lg1.2=0.079,所以lg(
10、1+x%)0.07920=0.00395,所以1+x%1.009,得x0.9,即年自然增长率应该控制在0.9%以内.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014大庆高一检测)某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加,若在某个时刻这种细菌的个数为200个,按照每小时成倍增长,如表:时间(小时)0123细菌数(个)2004008001 600则实验开始后5小时细菌的个数是()A.2400B.3600C.4800D.6400【解析】选D.由题意经过x小时,细菌个数为y=2002x,令x=5得y=6400.2.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,则经过x年(xN*),该产
11、品的产量y=()A.a(1+5%x)B.a+5%xC.a(1+5%)x-1D.a(1+5%)x【解析】选D.经过1年,产量为a(1+5%),经过2年,产量为a(1+5%)2,所以,经过x年(xN*),该产品的产量为y=a(1+5%)x.3.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=cx,xA,cA,xA(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是()A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【解析】选D.由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为cA=15,故组装第4件产品所需时间为c4=3
12、0,解得c=60,将c=60代入cA=15,得A=16.4.(2013深圳高一检测)如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象.假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法:此指数函数的底数为2;在第5个月时,野生水葫芦的面积会超过30m2;野生水葫芦从4m2蔓延到16m2只需1.5个月;设野生水葫芦蔓延至2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【解题指南】根据图象确定函数解析式,再由所给数据求解判断.【解析】选C.根据所给数据可得指数函数的底数为2,故正确;由y=2x,当x=5时,y=32,故正确
13、;当x=2时,y=4;当x=4时,y=16,因此从4到16需2个月,故不正确.由y=2x得x=log2y,因为log22+log23=log26,故t1+t2=t3,正确,故选C.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014扬州高一检测)设在海拔xm处的大气压强是yPa,y与x之间的函数关系为y=cekx,其中c,k为常量.已知某天的海平面的大气压为1.01105Pa,1000 m高空的大气压为0.90105Pa,则600 m高空的大气压强约为.(保留3位有效数字)【解析】将x=0时,y=1.01105Pa和x=1000时,y=0.90105Pa分别代入y=cekx,得1.01105=ce
14、0,0.90105=ce1 000k,所以c=1.01105,所以e1000k=0.901051.01105=0.901.01,所以k=11 000ln0.901.01,用计算器算得k-1.15310-4,所以y=1.01105e-1.15310-4x,将x=600代入上述函数式,得y9.42104Pa,即在600 m高空的大气压强约为9.42104Pa.答案:9.42104Pa6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到危险状态,经抢修排气扇,工作恢复正常,排气4分钟后测得车库内一氧化碳的浓度为64ppm(ppm为浓度单位,表示一百万体积的空气中所含污染物的体积数),
15、再过4分钟测得浓度为32ppm,由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)的函数关系为y=c(12)mt(c,m为常数),则c=,m=.【解析】由条件,得c(12)4m=64,c(12)8m=32,解得m=14,c=128.答案:12814来源:学科网ZXXK【举一反三】若本题条件不变,当空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm时为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库的一氧化碳含量才能达到正常?【解析】由原题知,y=128(12)t4,由128(12)t40.5,即(12)t4(12)8,解得t32.所以至少排气32分钟,这个地下车库的一氧化碳含量才能达到正常.三、解答题(每小题12分,共24分
