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1、9.1 直线的方程直线的方程1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan_，倾斜角是 90的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式经过两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)如果 x1x2，那么直线的斜率公式为 k(x1x2).y2y1x2x12.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜
2、式yy0k(xx0)不含垂直于 x 轴的直线斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线两点式yy1y2y1xx1x2x1不含直线 xx1 (x1x2)和直线 yy1 (y1y2)截距式 1xayb不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用3.过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若 x1x2，且 y1y2时，直线垂直于 x 轴，方程为 xx1；(2)若 x1x2，且 y1y2时，直线垂直于 y 轴，方程为 yy1；(3)若 x1x20，且 y1y2时，直线即为 y 轴，方程为 x0；(4)若 x1x2，且 y1y20 时，直线即为
3、 x 轴，方程为 y0.4.线段的中点坐标公式若点 P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2的中点 M 的坐标为(x，y)，则Error!Error!，此公式为线段 P1P2的中点坐标公式.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )(4)直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( )(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(6)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 ykxb 表示.( )(7)不
4、经过原点的直线都可以用 1 表示.( )xayb(8)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.( )2.如果 AC0，在 y 轴上的截距 0，故CACB直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.若直线斜率的绝对值等于 1，则直线的倾斜角为_.答案 45或 135解析 由|k|tan |1，知：ktan 1 或 ktan 1.又倾斜角 0，180)，45或 135.4.直线 l 经过 A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点.则直线 l 的倾斜角的取值范围为_.答案 0，4 (2，)解析 直线 l 的斜率
5、k1m21.m2112若 l 的倾斜角为 ，则 tan 1.又0，)，.0，4 (2，)5.过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.答案 xy10 或 4x3y0解析 若直线过原点，则 k ，43y x，即 4x3y0.43若直线不过原点.设 1，即 xya.xayaa3(4)1，xy10.题型一 直线的倾斜角与斜率例 1 经过 P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连结 A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的取值范围分别为_，_.思维启迪 本题考查斜率求解公式以及 k 与 的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨
6、论.答案 1,1 0， ，)434解析 如图所示，结合图形：为使 l 与线段 AB 总有公共点，则kPAkkPB，而 kPB0，kPA0 时， 为锐角.又 kPA1，2110kPB1，1k1.1102又当 0k1 时，0 ；4当1k0，b0)，xayb将点 P(3,2)代入得 12 ，得 ab24，3a2b6ab从而 SAOB ab12，当且仅当 时等号成立，这时 k ，从而所求直线方程123a2bba23为 2x3y120.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0；当 k0 时，直线为 y1，符合题意，故 k0.(3)解 由 l 的方程，得 A，B(0,12k).(12kk，0)
7、依题意得Error!Error!解得 k0.S OAOB |12k|1212|12kk| 1212k2k12(4k1k4) (224)4，12“”成立的条件是 k0 且 4k ，即 k ，1k12Smin4，此时直线 l 的方程为 x2y40.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_.思维启迪 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解.解析 当截距不为 0 时，设所求直线方程为 1，xaya即 xya0，点 M(4,3)与所求直线的距离为 5，5，|43a|2a75.2所求直线方程为 xy75
8、0 或 xy750.22当截距为 0 时，设所求直线方程为 ykx，即 kxy0.同理可得5，k .所求直线方程为 y x，即 4x3y0.|4k3|1k24343综上所述，所求直线方程为xy750 或 xy750 或 4x3y0.22答案 xy750 或 xy750 或 4x3y022温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用截距式时，忽视截距为零的情况；(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k，该公式y2y1x2x1与两点顺序无关，已知两点坐标(x1x2)
9、时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90.2.求斜率可用 ktan (90)，其中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.失误与防范1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程 AxByC0 求它的方向向量为(B，A)不
10、可记错，但同时注意方向向量是不唯一的.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、填空题1.如图中的直线 l1、l2、l3的斜率分别为 k1、k2、k3，则 k1，k2，k3的大小关系为_.(用“3，所以 01 或者0.12综上可知，实数 a 的取值范围是(， )(0，).128.若 ab0，且 A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，则 ab 的最小值为_.答案 16解析 根据 A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为 1，又 C(2，2)在该直线上，故xayb1，所以2(ab)ab.又 ab0，故 a0，b0)，xayb将(1,4)代入得 1，1a4bab(ab)( )5( )
11、9，1a4bba4ab当且仅当 b2a，即 a3，b6 时，截距之和最小，直线方程为 1，x3y6即 2xy60.4.已知 A(3,0)，B(0,4)，直线 AB 上一动点 P(x，y)，则 xy 的最大值是_.答案 3解析 直线 AB 的方程为 1，x3y4设 P(x，y)，则 x3 y，34xy3y y2 (y24y)3434 (y2)243.34即当 P 点坐标为时，xy 取最大值 3.(32，2)5.设点 A(1,0)，B(1,0)，直线 2xyb0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是_.答案 2,2解析 b 为直线 y2xb 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y2xb 过点 A
12、(1，0)和点 B(1,0)时 b 分别取得最小值和最大值.b 的取值范围是2,2.6.与两坐标轴正方向围成面积为 2 平方单位的三角形，并且在两轴上截距之差为 3 的直线方程为_.答案 x4y40 或 4xy40解析 设直线方程为 1(a0，b0)，xayb由题意知Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!直线方程为 y1 或 x 1.x4y47.直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、B 两点.(1)当 PAPB 最小时，求 l 的方程；(2)当 OAOB 最小时，求 l 的方程.解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负.设 l：y4k(x1)(k0).令 y0，可得 A(1 ，0)；令 x0，可得 B(0,4k).4k(1)PAPB (1k2)4( k)8.(注意 k0)4k2161k24k1k当且仅当 k 且 k0 即 k1 时，1kPAPB 取最小值.这时 l 的方程为 xy50.(2)OAOB(1 )(4k)5(k )9.4k4k当且仅当 k 且 k0，即 k2 时，OAOB 取最小值.4k这时 l 的方程为 2xy60.
