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1、3.1 导数的概念及其运算导数的概念及其运算1.平均变化率一般地，函数 f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.fx2fx1x2x12.函数 yf(x)在 xx0处的导数(1)定义设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值yx无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0处可导，并称该常数 A 为函数fx0xfx0xf(x)在 xx0处的导数，记作 f(x0).(2)几何意义函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0).3
2、.函数 f(x)的导函数若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数.4.基本初等函数的导数公式(1)(x)x1 ( 为常数)；(2)(ax)axln_a(a0 且 a1)；(3)(logax) logae (a0，且 a1)；1x1xln a(4)(ex)ex；(5)(ln x) ；1x(6)(sin x)cos_x；(7)(cos x)sin_x.5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)
3、0).fxgxfxgxfxgxg2x6.复合函数的导数若 yf(u)，uaxb，则 yxyuux，即 yxyua.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.( )(2)求 f(x0)时，可先求 f(x0)再求 f(x0).( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(5)若 f(x)a32axx2，则 f(x)3a22x.( )(6)函数 y的导数是 y.( x33x2 )2.(2013江西)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.答案 2解
4、析 设 ext，则 xln t(t0)，f(t)ln ttf(t) 1，1tf(1)2.3.已知曲线 yx3在点(a，b)处的切线与直线 x3y10 垂直，则 a 的值是_.答案 1解析 由 yx3知 y3x2，切线斜率 ky|xa3a2.又切线与直线 x3y10 垂直，3a2( )1，13即 a21，a1.4.如图，函数 yf(x)的图象在点 P 处的切线方程是 yx8，则f(5) f(5)_.答案 2解析 由图可知，f(5)3，f(5)1，因此 f(5)f(5)2.5.曲线 ye2x1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形 的面积为_.答案 13解析 y2e2x，曲线
5、在点(0,2)处的切线斜率 k2，故切线方程为 y2x2，该直线与直线 y0 和 yx 围成的三角形如图所示，其中直线 y2x2 与 yx 的交点为 A( ， )，2323所以三角形的面积 S 1 .122313题型一 利用定义求函数的导数例 1 利用导数的定义求函数 f(x)x3在 xx0处的导数，并求曲线 f(x)x3在 xx0处的切线与曲线 f(x)x3的交点.思维启迪 正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键.解 因为x2xx0x .yxfxfx0xx0x3x3 0xx02 0从而当 xx0时，x2xx0x 3x .2 02 0曲线 f(x)x3在 xx0处的切线方程为yx
6、3x (xx0)，3 02 0即 y3x x2x ，由Error!Error!2 03 0得(xx0)2(x2x0)0，解得 xx0，x2x0.若 x00，则交点坐标为(x0，x )，(2x0，8x )；3 03 0若 x00，则交点坐标为(0,0).思维升华 求函数 f(x)的导数的步骤：(1)求函数值的增量 yf(x2)f(x1)；(2)计算平均变化率；yxfx2fx1x2x1(3)计算当 x0 时，趋近的常数 A.yx函数 yx 在x，xx上的平均变化率_；该函数在 x1 处1xyx的导数是_.答案 1 01xxx解析 y(xx)x1xx1xx x.1xx1xxxxx1.yx1xxx从而
7、，当 x0 时，1.当 x1 时，0.yx1x2yx题型二 导数的运算例 2 求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(x21x1x3)(3)ysin2；(2x3)(4)yln(2x5).思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导.解 (1)y(exln x)exln xex1xex(ln x ).1x(2)yx31，y3x2.1x22x3(3)ysin2(2x ) cos(4x )3121223故设 y cos u，u4x ，121223则 yxyuux sin u4122sin u2sin(4x ).23(4)设 yln u，u2x5，则 yxy
8、uux，因此 y(2x5).12x522x5思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.求下列函数的导数.(1)y(x1)(x2)(x3)；(2)ysin (12cos2)；x2x4(3)y.3x解 (1)方法一 y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.方法二
9、y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.(2)ysin (cos ) sin x，x2x212y( sin x) (sin x) cos x.121212(3)设 u3x，则 y由 yu 与 u3x 复合而成.3x12yf(u)u(x)(u )(3x) u (1)121212 u .121212 3x3x2x6题型三 导数的几何意义例 3 已知函数 f(x)x34x25x4.(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点
10、 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程.思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点.解 (1)f(x)3x28x5，f(2)1，又 f(2)2，曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(2)x2，即 xy40.(2)设切点坐标为(x0，x 4x 5x04)，3 02 0f(x0)3x 8x05，2 0切线方程为 y(2)(3x 8x05)(x2)，2 0又切线过点(x0，x 4x 5x04)，3 02 0x 4x 5x02(3x 8x05)(x02)，3 02 02 0整理得(x02)2(x01)0，解得 x02 或 x01，经过 A(2，2)的曲
11、线 f(x)的切线方程为 xy40，或 y20.思维升华 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.(1)曲线 yxsin x 在点(0,0)处的切线方程是_.(2)已知函数 f(x)x33x，若过点 A(0,16)且与曲线 yf(x)相切的切线方程为 yax16，则实数 a 的
12、值是_.答案 (1)2xy0 (2)9解析 (1)yxsin x，y1cos x，当 x0 时，y1cos 02，故曲线yxsin x 在点(0,0)处的切线方程是 y02(x0)，即 2xy0.(2)先设切点为 M(x0，y0)，则切点在曲线上 y0x 3x03 0求导数得到切线的斜率 kf(x0)3x 3，2 0又切线 l 过点 A、M 两点，所以 k，y016x0则 3x 32 0y016x0联立、可解得 x02，y02，从而实数 a 的值为 ak9.2162一审条件挖隐含典例：(14 分)设函数 yx22x2 的图象为 C1，函数 yx2axb 的图象为 C2，已知过C1与 C2的一个
13、交点的两切线互相垂直.(1)求 a，b 之间的关系；(2)求 ab 的最大值.C1与 C2有交点(可设 C1与 C2的交点为(x0，y0)过交点的两切线互相垂直(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数导数的几何意义利用导数求两切线的斜率：k12x02，k22x0aError!Error!(2x02)(2x0a)1(交点(x0，y0)适合解析式)Error!Error!，即 2x (a2)x02b0 2 0注意隐含条件方程同解ab52消元aba2(52a)(a54)2516当 a 时，ab 最大且最大值为.542516规范解答解 (1)对于 C1：yx22x2，有 y2x2，1 分对于 C2：yx2axb，有 y2xa，2 分设 C1与 C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直.(2x02)(2x0a)1，即 4x 2(a2)x02a102 0又点(x0，y0)在 C1与 C2上，故有Error!Error!2x (a2)x02b02 0由消去 x0，可得 ab .752分(2)由(1)知：b a，52aba2.11 分(52a)(a54)2516当 a 时，(ab)最大值.14 分542516温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点 P(x0，y0)，交点处的切
