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1、14.4 不等式选讲不等式选讲1两个实数大小关系的基本事实abab0abab0ab，那么 bb.即 abbb，bc，那么 ac.(3)可加性：如果 ab，那么 acbc.(4)可乘性：如果 ab，c0，那么 acbc；如果 ab，cb0，那么 anbn(nN，n1)(6)开方：如果 ab0，那么(nN，n1)nanb3绝对值三角不等式(1)性质 1：|ab|a|b|.(2)性质 2：|a|b|ab|.性质 3：|a|b|ab|a|b|.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集不等式a0a0aax|xa 或 x0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|
2、axb|caxbc 或 axbc.(3)|xa|xb|c 和|xa|xb|c 型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果 a，bR，那么 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果 a，b0，那么，当且仅当 ab 时，等号成立也ab2ab可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数 x，y，如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的积 P
3、 取得最大值；如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 xy 时，它们的和 S 取得最小值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理 如果 a，b，c 均为正数，那么，当且仅当 abc 时，等号成abc33abc立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，a1a2annna1a2an当且仅当 a1a2an时，等号成立7柯西不等式(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立(2)设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a
4、a a )2 12 22 n(b b b )(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当 bi0(i1,2，n)或存在一个2 12 22 n数 k，使得 aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设 ， 是两个向量，则|，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立8证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道 abab0，ab，只要证明 ab0 即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由 ab0 1 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明 ab，只要证明 1 即可，这种abab方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将
5、待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1
6、)证明起始命题 P1(或 P0)成立；(2)在假设 Pk成立的前提下，推出 Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切自然数成立1不等式|2x1|x2|bc解析 分子有理化得 a，b，c13 216 517 6abc.题型一 含绝对值的不等式的解法例 1 (2012课标全国)已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2，求 a 的取值范围解 (1)当 a3 时，f(x)Error!Error!当 x2 时，由 f(x)3 得2x53，解得 x1；当 25；当3x2 时，g(x)5；当 x2 时，g(x)5.综上可得，g
7、(x)的最小值为 5.从而，若 f(x)f(x5)m，即 g(x)m 对一切实数 x 恒成立，则 m 的取值范围为(，5方法二 (1)同方法一(2)当 a2 时，f(x)|x2|.设 g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2 时等号成立)，得 g(x)的最小值为 5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为 (，5题型二 柯西不等式的应用例 2 已知 3x22y26，求证：2xy.11证明 由于 2xy(x)(y)，233122由柯西不等式(a1b1a2b2)2(a a )(b b )得2 12 22 12 2(
8、2xy)2()2()2(3x22y2)2312( )6611，4312116|2xy|，2xy.1111思维升华 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成立若 3x4y2，试求 x2y2的最小值解 由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得 25(x2y2)4，所以 x2y2.425不等式中当且仅当 时等号成立，x2y2取得最小值，x3y4由方程组Error!Error!解得Error!Error!因此当 x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.6258254
9、25题型三 不等式的证明方法例 3 已知 a，b，c(0，)，且 abc1，求证：(1)( 1)( 1)( 1)8；1a1b1c(2).abc3证明 (1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，abbcca( 1)( 1)( 1)1a1b1cbcacababc8.2 bc2 ac2 ababc(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，abbcca2(abc)222，abbcca两边同加 abc 得3(abc)abc222abbcca()2.abc又 abc1，()23，abc.abc3思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果” ，分析法证明不等式是“执果索因” ，它们是两种思路截
10、然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设 a，b，c0，且 abbcca1.求证：(1)abc；3(2) ()abcbaccab3abc证明 (1)要证 abc，3由于 a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b2c2 (当且仅当 abc
11、 时等a2b22b2c22c2a22号成立)证得原不等式成立(2) .abcbaccababcabc在(1)中已证 abc.3因此要证原不等式成立，只需证明.即证 abc1，1abcabcbcacab即证 abcabbcca.bcacab而 a，bcabacabac2b，c.acabbc2abbcac2abcabbcca (abc时等号成立)bcacab33原不等式成立绝对值不等式的解法典例：(10 分)解不等式|x1|x1|3.思维启迪 本题不等式为|xa|xb|c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法规范解答解 方法一 如图所示，设数轴上与1,1 对应的点
12、分别为 A，B，那么 A，B 两点的距离和为 2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在 A 点左侧有一点 A1，到A，B 两点的距离和为 3，A1对应数轴上的 x.4 分1x1x3，得 x .32同理设 B 点右侧有一点 B1到 A，B 两点距离之和为 3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3.x .32从数轴上可看到，点 A1，B1之间的点到 A，B 的距离之和都大于 3；点 A1的左边或点 B1的右边的任何点到 A，B 的距离之和都大于 3.8 分所以原不等式的解集是.10 分(，32 32，)方法二 当 x1 时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得：x .3 分32当14 时，x3
13、x49，即 40，求证：2a3b32ab2a2b.证明 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为 ab0，所以 ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即 2a3b32ab2a2b.3若 a、b、c 均为实数，且 ax22y ，by22z ，cz22x .求证：a、b、c 中236至少有一个大于 0.证明 假设 a、b、c 都不大于 0，即 a0，b0，c0，所以 abc0.而 abc(x22y2) (y22z3) (z22x6)(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以
14、abc0，这与 abc0 矛盾，故 a、b、c 中至少有一个大于 0.4(2013课标全国)设 a、b、c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac ；(2)1.13a2bb2cc2a证明 (1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca .13(2)因为b2a，c2b，a2c，a2bb2cc2a故(abc)2(abc)，a2bb2cc2a即abc.a2bb2cc2a所以1.a2bb2cc2a5设不等式|2x1|0.故 ab1ab.6(2013辽宁)已知函数 f(x)|xa|，其中 a1.(1)当 a2 时
