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1、1.2 命题及充要条件命题及充要条件1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4充分条件与必要条件(1)如果 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；(2)如果 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x30，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的_条件答案 充要解析 因为 Ax|x20x|
2、x2(2，)，Bx|x0x|x2(，0)(2，)即 ABC.故“xAB”是“xC”的充要条件. 4已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的_条件答案 充分而不必要解析 a3 时 A1,3，显然 AB.但 AB 时，a2 或 3.所以 a3 是 AB 的充分而不必要条件5设 R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的_条件答案 充分而不必要解析 由条件推结论和结论推条件后再判断若 0，则 f(x)cos x 是偶函数，但是若 f(x)cos(x) (xR)是偶函数，则 也成立故“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一 四种命题及真假
3、判断例 1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假(1)已知 a，b，c，d 是实数，若 ab，cd，则 acbd；(2)已知 a，b，cR，若 ac0.否命题：已知 a，b，cR，若 ac0，则 ax2bxc0 没有两个不相等的实数根，是假命题逆否命题：a，b，cR，若 ax2bxc0 没有两个不相等的实数根，则 ac0，是真命题思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例有下列四个命题：
4、若“xy1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；若“m1，则 x22xm0 有实数解”的逆否命题；“若 ABB，则 AB”的逆否命题其中真命题为_(填序号)答案 解析 的逆命题：“若 x，y 互为倒数，则 xy1”是真命题；的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；的逆否命题：“若 x22xm0 没有实数解，则 m1”是真命题；命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题题型二 充要条件的判定例 2 已知下列各组命题，其中 p 是 q 的充分必要条件的是_(填序号)p：m2 或 m6；q：yx2mxm3 有两个不同的零点；p：1；q：yf(x)是偶函数；
5、fxfxp：cos cos ；q：tan tan ；p：ABA；q：AU，BU，UBUA.思维启迪 首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断答案 解析 对于，由 yx2mxm3 有两个不同的零点，可得 m24(m3)0，从而可得 m6.所以 p 是 q 的必要不充分条件；对于，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由 yf(x)是偶函数不能推出fxfx1，例如函数 f(x)0，所以 p 是 q 的充分不必要条件；fxfx对于，当 cos cos 0 时，不存在 tan tan ，反之也不成立，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件；对于，由 ABA
6、，知 AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知 AB，即 ABA.所以 pq.综上所述，p 是 q 的充分必要条件的只有.思维升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据 pq，qp 进行判断；(2)集合法：根据 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1 或 y1”的何种条件，即可转化为判断“x1 且 y1”是“xy1”的何种条件用“充分不必要” “必要不充分” “充要”和“既不充分也不必要”填空(1)已知 m，nR，则“m0”是“mn0”
7、的_条件；(2)“”是“tan tan ”的_条件；(3)“a0mn0m0，得 a0(1)若 m1，则 p 是 q 的什么条件？(2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围思维启迪 问题(1)考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理；问题(2)考查充要条件的应用，根据“若 p 是 q 的充分不必要条件” ，得出所对应集合的关系，从而求出实数 m 的取值范围解 (1)因为 p：Error!Error!x|2x10，q：x|1mx1m，m0x|0x2，显然x|0x2x|2x10，所以 p 是 q 的必要不充分条件(2)由(1)，知 p：x
8、|2x10，因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以Error!Error!解得 m9，即 m9，)思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)若“x21”是“x1，得 x1.又“x21”是“x1” ，反之不成立，所以 a1，即 a 的最大值为1.(2)p：|4x3|114x31， x1；12q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由题意知 p 是 q 的充分不必要条件，故有Error!E
9、rror!或Error!Error!，则 0a .12等价转化思想在充要条件中的应用典例：(14 分)已知集合 Ay|yx2 x1，x ，2，3234Bx|xm21p：xA，q：xB，并且 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围思维启迪 (1)先对集合进行化简；(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；(3)利用集合间的关系列出关于 m 的不等式，求出实数 m 的范围规范解答解 化简集合 A，由 yx2 x1.32配方，得 y2.(x34)716x，34，2ymin，ymax2.716y.716，2AError!Error!.4 分化简集合 B，由 xm21，得 x1m2，Bx|x1
10、m26 分命题 p 是命题 q 的充分条件，AB.8 分1m2，解得 m ，或 m .12 分7163434实数 m 的取值范围是.14 分(，34 34，)温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定2充
11、要关系的几种判断方法(1)定义法：直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2)等价法：即利用 AB 与綈 B綈 A；BA 与綈 A綈 B；AB 与綈 B綈 A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：设 Ax|p(x)，Bx|q(x)，若 AB，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充要条件失误与防范1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动2判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若 p则 q”的形式3判断条件之间的关系要注意
12、条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.A 组 专项基础训练(时间：25 分钟)1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_答案 若一个数的平方是正数，则它是负数解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数2下列命题中为真命题的序号为_命题“若 xy，则 x|y|”的逆命题；命题“若 x1，则 x21”的否命题；命题“若 x1，则 x2x20”的否命题；命题“若 x20，则 x1”的逆否命题答案 解析 对于，其逆命题：若 x|y|，则 xy，是真命题，这是因为 x|y|Error!Error!，必有xy；对于，否命题：若 x1，则
13、x21，是假命题如 x5，x2251；对于，其否命题：若 x1，则 x2x20，因为 x2 时，x2x20，所以是假命题；对于，若 x20，则 x0 或 x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故只有正确3已知集合 Mx|00 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_答案 3,0解析 ax22ax30 恒成立，当 a0 时，30 成立；当 a0 时，得Error!Error!，解得3am1 是 x22x30 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_答案 0,2解析 由已知易得x|x22x30x|xm1，x|x22x30x|x3，Error!Error!或Error!Error!，0m2.B
14、 组 专项能力提升(时间：25 分钟) 1若集合 Ax|20，即 2n12 对任意的 nN*都成立，于是可得 32，即 3，即 m2.5下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC 中， “AB2AC2BC2”是“ABC 为直角三角形”的充要条件；若 a，bR，则“a2b20”是“as，b 全不为零”的充要条件；若 a，bR，则“a2b20”是“a，b 不全为零”的充要条件其中正确命题的序号是_答案 解析 由 0 可以推出 a0，但是由 a0 不一定推出 0 成立，所以正确由 AB2AC2BC2可以推出ABC 是直角三角形，但是由ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确由 a2b20 可以推出 a，b 不全为零；反之，由 a，b 不全为零可以推出 a2b20，所以不正确，正确6设集合 A、B，有下列四个命题：AB对任意 xA 都有 xB；ABAB；ABBA；AB
