《2015届高考数学（文）基础知识总复习名师讲义：第8章 第6节 空间图形的垂直关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（文）基础知识总复习名师讲义：第8章 第6节 空间图形的垂直关系（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节第六节 空间图形的垂直关系空间图形的垂直关系 1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单 命题. 知识梳理 一、空间图形的垂直关系 直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直 二、直线与直线垂直 定义：两条直线所成的角为 90，则称两直线垂直，包括两 类：相交垂直与异面垂直 三、直线与平面垂直 1定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂 直，那么称这条直线和这个平面垂直这条直线叫做平面的垂线， 这个平面叫做直线的垂面 2直线与平面垂直的判定 类别语言表述 应用 判定(定义)如果一条直线和一个平面内的任何一条直线
2、 证直线和平 都垂直，那么这条直线和这个平面垂直面垂直 (定理)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 证直线和平 面垂直 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于这个平面 证直线和平 面垂直 3.直线与平面垂直的性质. 类别语言表述图示字母表示应用 如果一条直线和一 个平面垂直，那么 这条直线和这个平 面内的任何一条直 线都垂直 Error!Error!ab 证两条 直线垂 直 性质 如果两条直线同垂 直于一个平面，那 么这两条直线平行 Error!Error!ab 证两条 直线平 行 四、二面角 1定义：从一条直线 AB 出发的两个半
3、平面( 和 )所组成 的图形叫做二面角记作二面角 AB，AB 叫做二面角的棱，两 个半平面( 和 )叫做二面角的面 2二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O 分别在二面角的两个面 ， 内作与棱垂直的射线 OM，ON， 我们把MON 叫做二面角 AB 的平面角，用它来度量二面角 的大小 平面角是直角的二面角叫做直二面角 五、两个平面垂直的判定和性质 1定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直 2两个平面垂直的判定和性质 类别语言表述图示字母表示应用 根据定义， 证明两平面 所成的二面 角是直二面 角 AOB 是 二面角 a 的平面角， 且 AO
4、B90 ，则 判定 如果一个平 面经过另一 个平面的一 条垂线，那 么这两个平 面互相垂直 a a 证两 个平 面垂直 如果两个平 面垂直，那 么它们所成 二面角的平 面角是直角 ，A OB 是二面 角 a 的平 面角，则 AOB90 证两 条直 线垂直 性质 如果两个平 面垂直，那 么在一个平 面内垂直于 它们交线的 直线垂直于 另一个平面 l a al a 证直 线和 平面 垂直 基础自测 1已知直线 m，n 和平面 ，若 ，m，n，要使 n，则应增加的条件是( ) Amn Bnm Cn Dn 解析：已知直线 m，n 和平面 ，若 ，m，n，根据面面垂直的性质定理，应增加条件 nm，才能使
5、得 n. 答案：B 2(2013珠海二模)设 ， 是两个不同的平面，l 是一条直 线，以下命题正确的是( ) A若 l，则 l B若 l，则 l C若 l，则 l D若 l，则 l 解析：A 选项中，还可能 l；B 选项中，也可能 l；D 中，也可能 l.故选 C. 答案：C 3如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且 底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_ 时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件 即可) 解析：底面四边相等，BDAC. PA平面 ABCD，BDPA. PAACA，BD平面 PAC. BDPC. 故当 DMPC(或
6、BMPC)时，有 PC平面 MBD， 从而有平面 PCD平面 MBD. 4设 l，m，n 为三条不同的直线， 为一个平面，下列命 题中正确的是_ 若 l，则 l 与 相交； 若 m，n，lm，ln，则 l； 若 lm，mn，l，则 n； 若 lm，m，n，则 ln. 解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题正 确；由于不能确定直线 m，n 是否相交，不符合线面垂直的判定 定理，命题不正确；根据平行线的传递性，ln，故当 l 时，一定有 n，命题正确；m，n，则 mn，又 lm，即 ln，命题正确 答案： 1(2013新课标全国卷)已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l
7、满足 lm，ln，l，l，则( ) A 且 l B 且 l C 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l 解析：显然 与 相交，不然由 mn，与 m，n 为 异面矛盾，排除选项 A；当 与 相交时，设交线为 l，由 m平面 ，n平面 知，lm，ln，而 lm，ln，于 是易知 ll.故选 D. 答案：D 2(2013广东卷)如图 1，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D，E 分别是 AB，AC 边上的点，ADAE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G，将ABF 沿 AF 折起，得到如图 2 所示的三棱 锥 ABCF，其中 BC. 2 2 (1)证明：DE/
8、平面 BCF； (2)证明：CF平面 ABF； (3)当 AD 时，求三棱锥 FDEG 的体积 VFDEG. 2 3 (1)证明：在等边三角形 ABC 中，ADAE. ，在折叠后的三棱锥 ABCF 中也成立， AD DB AE EC DEBC，DE平面 BCF, BC平面 BCF，DE平面 BCF. (2)证明：在等边三角形 ABC 中，F 是 BC 的中点，所以 AFBC， BFCF . 1 2 在三棱锥 ABCF 中，BC，BC2BF2CF2， 2 2 CFBF， BFCFF，CF平面 ABF. (3)解析：由(1)可知 GECF，结合(2)可得 GE平面 DFG. VFDEGVEDFG
9、DGFGGE 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 ( 1 3 3 2) . 1 3 3 324 1(2013惠州一模)已知集合 A、B、C，A直线， B平面，CAB.若 aA，bB，cC，给出下列四个命 题： Error!Error!ac，Error!Error!ac，Error!Error!ac， Error!Error!ac. 其中所有正确命题的序号是_ 解析：对于，当 c 表示平面时，根据 ab 且 cb，不一 定有 ac 成立，可能 ac，故不正确； 对于，以正方体过同一个顶点的三条棱为 a，b，c，可得 ab，cb，但是 a，c 是相交直线，故不正确； 对于，当 c 表示平面时，
10、由 ab 且 cb 不能推出 ac 成立，故不正确； 对于，用与相同的方法，可证出 ac 成立，故正 确 综上，正确命题的序号为. 答案： 2(2013惠州二模)正方体 ABCDA1B1C1D1，AA12，E 为棱 CC1的中点 (1) 求证：B1D1AE； (2) 求证：AC平面 B1DE； (3) 求三棱锥 ABDE 的体积 (1)证明：连接 BD，则 BDB1D1， ABCD 是正方形，ACBD. CE面 ABCD，CEBD. 又 ACCEC，BD面 ACE. AE平面 ACE，BDAE， B1D1AE. (2)证明：连接 AF、CF、EF. E、F 是 CC1、BB1的中点，CE 綊 B1F， 四边形 B1FCE 是平行四边形， CFB1E，CF平面 B1DE， B1E平面 B1DE， CF平面 B1DE， E，F 是 CC1、BB1的中点，EF 綊 BC， 又 BC 綊 AD，EF 綊 AD. 四边形 ADEF 是平行四边形，AFED， AF平面 B1DE，ED平面 B1DE， AF平面 B1DE， AFCFF，平面 ACF平面 B1DE. 又AC平面 ACF，AC平面 B1DE . (3)解析：三棱锥 ABDE 的体积，即为三棱锥 EABD 的 体积，V ADABEC 221 . 1 3 1 2 1 3 1 2 2 3
