结构动力学ch2-1运动方程的建立

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1、第二章 单自由度体系的振动,2,主要内容,2.1运动方程的建立 2.2无阻尼自由振动 2.3阻尼自由振动 2.4对简谐荷载的响应 2.5对周期荷载的响应 2.6对冲击荷载的响应 2.7对一般动力荷载的响应 2.8阻尼理论与阻尼比的量测,3,第二章 单自由度体系的振动,单自由度体系动力分析的重要性：,具有实际应用价值，或进行初步的估算。 很多实际动力问题可按单自由度体系计算。,多自由度体系动力分析的基础。,单自由度体系包括振动分析中涉及到的所有物理量和基本概念。,2.1运动方程的建立,1、水平振动,作用在质量块上有三个真实力、一个虚拟的力：,荷载、,弹簧弹性力,和阻尼力;,惯性力,5,左边的三个

2、力都是位移y(t)或y(t)对时间t导数的函数，正向与位移y(t)的负方向相对应，与外荷载p(t)的方向相反。坐标y的坐标原点取在弹簧自然放松的位置。,根据力的平衡条件得:,2.1运动方程的建立,6,2.1运动方程的建立,单自由度体系的运动方程,弹性力等于弹簧刚度k与位移y(t)的乘积：,惯性力是质量与加速度的乘积：,阻尼为粘滞阻尼，则阻尼力是阻尼系数 与速度 的乘积:,7,2、竖向振动 质量块沿垂直方向上下振动，建立振动微分方程，考虑重力的影响。,2.1运动方程的建立,8,根据平衡条件，体系的振动方程：,2.1运动方程的建立,是由重力W产生的静力位移，是不随时间变化的，即：是动力位移，由静力

3、平衡位置开始计算。,质量块m的总位移 分解为两部分：,9,弹簧力部分可写成：,2.1运动方程的建立,相对于静力平衡位置所写出的振动方程不受重力影响，即重力对动力位移无影响。,振动方程：,1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移即为动力响应。 2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静力分析结果相加。,10,3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也可以由结构支座的运动而产生。,2.1运动方程的建立,1）由地震引起建筑物基础的运动； 2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备基底的运动等等。,11,地震导致的地面水平运动用相对于固定参考轴的结构基底位移 表示

4、。,1、地震动问题的简化模型,2.1运动方程的建立,假定：（1）刚架内水平横梁是刚性的，且包含了结构所有的运动质量，（2）柱假定无重量且在轴向不能变形，抵抗刚架侧向位移的恢复力由两根柱的侧向刚度来提供。,12,2.1运动方程的建立,一个自由度即可描述刚架的运动情况。,刚架体系的平衡方程可写为：,表示横梁相对于参考轴的总位移，即：,弹性力 和阻尼力 与前相同， 而惯性力 则由下式计算：,13,运动方程：,或：,2.1运动方程的建立,：等效荷载，即在地面加速度 影响下，结构的响应就和在外荷载 作用下的响应一样，只是外荷载 等于质量和地面加速度的乘积。负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。,14

5、,2.2 无阻尼自由振动,自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动形态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。,无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。,假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后，质点将围绕静力平衡点作自由振动。,15,1）自由振动微分方程的建立(依据原理：达朗伯原理),m,k,a、刚度法(stiffness method),m,从力系平衡建立的自由振动微分方程：,(DAlembers principle),2.

6、2 无阻尼自由振动,1、运动方程建立及其解的形式,16,b、柔度法(flexibility method),从位移协调角度建立的自由振动微分方程。,取振动体系为研究对象， 惯性力：,=1/k,2.2 无阻尼自由振动,17,2.2 无阻尼自由振动,令,齐次微分方程，其通解为：,系数 和 可由初始条件（initial condition）确定。,设在初始时刻 时，有初始位移 和初始速度 ，即：,求得：,18,（a）没有初始速度，仅由初始位移引起的振动按 的规律变化； （b）没有初始位移，仅由初始速度引起的振动按的规律变化： （c）既有初始位移，又有初始速度引起的振动形态 按方程 进行。,比较两式得

7、：,2.2 无阻尼自由振动,简谐振动的标准形式 a：振幅， ：初相位角。,Amplitude of vibration,initial phase angle,19,2.2 无阻尼自由振动,20,T:自由振动的周期，单位为秒（s）。:频率，表示单位时间内的振动次数，单位为1/秒（1/s），或称为赫兹（Hz）。:圆频率或角频率，表示在 个单位时间内的振动次数,单位为rad/s 。,2.2 无阻尼自由振动,当时间t 增加一个 时，上式保持不变，即：,2、结构的自振周期,21,经过一个周期T后，质点又回到了原来的位置，因此周期T称为自振周期或固有周期（natural periold）。,2.2 无阻

8、尼自由振动,计算自振周期的几种形式：,（1）由周期和圆频率的定义可知：,（2）将 代入上式，得：,22,2.2 无阻尼自由振动,（3）将 代入上式，得：,（4）令 ，得：,23,圆频率也仅与结构参数k和m有关，即仅与结构体系本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故称为固有频率或自振频率（natural frequency）。,2.2 无阻尼自由振动,圆频率计算公式的几种形式：,24,结构自振动周期重要性质： （1）自振动周期与结构的质量和刚度有关，而且只与这两者有关，与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自振周期T的大小没影响。,2.2 无阻尼自由振动,（2）自振周期

9、与质量平方根成正比，质量越大，则周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。,25,（4）自振周期是结构动力性能的一个重要的数量标志。a、两个外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大；b、两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常出现这样的现象。,2.2 无阻尼自由振动,（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可以得到最低的自振频率和最大的振动周期。,26,例2-1 悬臂梁长度L=1米，其末端装一重量Q=1221N的电动机，梁为钢梁，弹性模量E=2.11011

10、N/m2，惯性矩I=7810-8m4，与电动机重量相比梁的重量可以略去。求结构的自振圆频率及周期。,2.2 无阻尼自由振动,27,解： 悬臂梁在竖向力Q作用下，端部的竖向位移为,2.2 无阻尼自由振动,自振周期：,自振频率：,28,例2-2 ：求刚架的自振频率，不考虑横梁的变形。,2.2 无阻尼自由振动,29,解：使横梁发生单位位移所需外力k为:,2.2 无阻尼自由振动,自振频率：,30,例2-3：图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,2.2 无阻尼自由振动,31,据此可得：,结构约束越强,其刚度越

11、大,刚度越大,其自振动频率也越大。,2.2 无阻尼自由振动,32,k,QCA,QCB,2.2 无阻尼自由振动,用刚度法：,33,例2-4:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。,3EI/h2,6EI/h2,6EI/h2,k,2.2 无阻尼自由振动,解：,34,2.2 无阻尼自由振动,解：,35,2.2 无阻尼自由振动,解：,例2-6,36,例2-7,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh = MBC,解法2：求 ,2.2 无阻尼自由振动,37,例2-8,解：求 k,2.2 无阻尼自由振动,38,对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（

12、如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,2.2 无阻尼自由振动,39,m,k,1) c不存在,m,k,y=0,c,2) c存在,阻尼是客观存在的,振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。,（1）产生阻尼的原因,1)结构与支承之间的外摩擦,2)材料之间的内摩擦,3)周围介质的阻力,（2）阻尼力的确定,1)与质点速度成正比,2)与质点速度平方成正比,3)与质点速度无关,粘滞阻尼,2.3 有阻尼的自由振动,40,2.3 有阻尼的自由振动,如果体系内存在阻尼，单自由度体系的自由振动微分方程为 :,令：,则方程可改写为：

13、,k,m,( 阻尼比damping ratio ）,41,特征方程的解为：,2.3 有阻尼的自由振动,设方程解的形式为：,特征方程：(characteristic equation),42,C1和C2为两个积分常数，由初始条件确定。 有阻尼自由振动的特性与根式（ ）的符号有关。,2.3 有阻尼的自由振动,的通解为：,所对应的阻尼系数c称为临界阻尼系数， 记为ccr，其计算公式为：,43,2.3 有阻尼的自由振动,阻尼比(damping ratio ）,称为阻尼比（damping ratio）,反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。,一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.0040.03）,木材（0.0

14、4），混凝土（0.05-0.08）等。对一般建筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。,44,（1）当 1时 体系的阻尼系数小于临界阻尼系数，称为低阻尼体系（under damping）。式可写为 :,2.3 有阻尼的自由振动,振动微分方程 的解为：,其中， 称为阻尼固有频率。,45,其中：A1及A2或A及 由初始条件确定。设当t=0时，初始位移 ，初始速度 ，将此初始条件代入方程解，可得：,2.3 有阻尼的自由振动,或：,46,表示低阻尼下的自由振动，不是一个严格的周期振动，是一个减幅的往复运动，可称为准周期振动，其往复一次的周期时间为：,阻尼对周期影响？,2.3 有阻尼的自由振动,或：,

15、47,2.3 有阻尼的自由振动,其衰减简谐运动如图所示。在有阻尼自由振动中，由于阻尼不断消耗能量又没有外界能量补充，因此结构系统总能量不断减少，振幅不断衰减。,低阻尼y- t曲线,48,（a）、阻尼对固有频率的影响 有阻尼和无阻尼的固有频率 和 间的关系由式 :确定。在 1的低阻尼情况下， 恒小于 ，而且 随 的增大而减小。,2.3 有阻尼的自由振动,但一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.0040.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。对一般建筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。如果 0.2则0.96 1，即 与 的值很接近。所以说阻尼对固有频率的影响很小，一般可认为 。,