《2018年高中数学北师大版必修2第1章立体几何初步 1.7.3习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学北师大版必修2第1章立体几何初步 1.7.3习题含解析（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题17.3 球1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么它的体积扩大到原来的( )A.2 倍B.2倍C.倍D.倍2232解析:设球原来的半径为 r,则表面积 S=4r2,体积 V= r3,又设扩大后球的半径为 R,则 4R2=8r2,4 3R=r,扩大后球的体积 V扩= R3= (r)3=2r3=2V,=2.24 34 322432扩2答案:B2.棱长为 a 的正方体内有一个球,且与这个正方体的 12 条棱都相切,则这个球的体积应为( )A. a3B. a3C.a3D.a3 6 42 32 4解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球
2、的半径为 r,则 r=a,球的体积2 2V=a3.4 3(2 2)3=2 3答案:C3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )A.B.C.D.16 319 1219 34 3北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题2解析:由三视图可知该几何体是三棱柱,它的底面是边长为 2 的等边三角形,侧棱长为 1.设其外接球的半径为 R,则 R2=,因此球的表面积 S=4R2=4.(2 3 3)2+(12)2=19 1219 12=19 3答案:C4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面
3、积为 16+20,则 r=( )A.1B.2C.4D.8解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.S表=2r2r+2 r2+r2r+ 4r21 21 2=5r2+4r2=16+20,解得 r=2.答案:B5.北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题3如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,那么球的体
4、积为( )A. cm3B. cm3500 3866 3C. cm3D. cm31 372 32 048 3解析:设球半径为 R cm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4 cm,球心到截面的距离为(R-2) cm.所以由 42+(R-2)2=R2,得 R=5,所以球的体积为 V= R3= 53= cm3,故选4 34 3500 3A.答案:A6.半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.6B.2C.2D.51256解析:作过正方体对角面的截面如图,设半球的半径为 R,正方体的棱长为 a,那么 CC=a,OC=.2 2在 RtCCO 中,由勾股定
5、理,得 CC2+OC2=OC2,即 a2+=R2,R=a.从而 V半球= R3=(2 2)26 22 3a3.V正方体=a3.2 3(6 2)3=6 2因此 V半球V正方体=a3a3=2.6 26答案:B7.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 .3 2 23北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题4解析:设正四棱锥的高为 h,则h=,解得高 h=,则底面正方形的对角线长为,所1 3 ( 3)23 2 23 2 22 3 =6以半径 OA=,(3 2 2)2+(6 2)2=6所以球的表面积为 4=24.( 6)2答案:2
6、48.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 . 解析:由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为 6 m,3 m,1 m 的长方体,底部为两个直径为 3 m 的球,所以该几何体的体积为 V=631+2 =(18+9)(m3).4 3(3 2)3答案:(18+9)m39.据说伟大的阿基米德去世以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑.在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.那么图形中圆锥、球、圆柱的体积比为 . 解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 V圆柱=r2h,圆
7、锥的底面半径为 r,高为 h,则 V圆锥= r2h,球的半1 3径为 r,所以 V球= r3.又 h=2r,所以 V圆锥V球V圆柱=(r2h)4 3(1 32)(433)=(2r3)=123.(2 33)(433)北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题5答案:12310.设四面体的各条棱长都为 1,若该四面体的各个顶点都在同一个球面上,求该球的表面积.解如图所示,由已知四面体的各条棱长都为 1,得各个面都是边长为 1 的正三角形,过点 A 作 AO平面BCD 于点 O,连接 BO.在 RtAOB 中,AB=1,BO=,所以 AO=.3 22 3=3 31 -1 3=6 3设球
8、的半径为 R,球心为 O1,则 O1在线段 AO 上,OO1=AO-R=-R,O1B=R,BO=,6 33 3在 RtO1OB 中,O1B2=OB2+O,21即 R2=,解得 R=.(3 3)2+(6 3- )26 4所以球的表面积 S=4R2=.3 211.已知过球面上三点 A,B,C 的截面到球心的距离等于球的半径的一半,且 AC=BC=6,AB=4,求球的表面积与体积.解如图所示,设球心为 O,球的半径为 R,作 OO1平面 ABC 于 O1,由于 OA=OB=OC=R,则 O1是ABC 的外心.北师大版 2018-2019 学年高中数学必修 2 习题6设 M 是 AB 的中点,由于 A
9、C=BC,则 O1CM.设 O1M=x,易知 O1MAB,则O1A=,O1C=CM-O1M=-x.又 O1A=O1C,所以-x.解得 x=.则22+ 262- 2222+ 2=62- 227 2 4O1A=O1B=O1C=.在 RtOO1A 中,O1O= ,OO1A=90,OA=R.由勾股定理,得=R2.解9 2 4 2( 2)2+(9 24)2得 R=.故 S球=4R2=54,V球= R3=27.3 6 24 3612.在棱长为 1 的正方体内,有两球相外切,并且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和;(2)大球的半径是多少时,两球体积之和最小?解(1)如图所示,ABCD 为过球心的对角面,AC=.设两球的半径分别为 R,r,则有 R+r+(R+r)33=.R+r=.33 - 3 2(2)设两球的体积之和为 V,则 V= (R3+r3)= (R+r)(R2-Rr+r2)= (R+r)(R+r)2-3Rr= 4 34 34 34 3.3 - 3 232-3(3 - 3) 2 +(3 - 32)2当 R=时,V 有最小值.3 - 3 4
