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1、1,第四章 留数及其应用,4.1 孤立奇点,1 可去奇点,2 极点,3 本性奇点,2,本章将利用函数的Laurent级数展开式研究,函数在孤立奇点处的性质.,如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d 0,使得f (z)在 内解析，则称z0 是f (z)的,孤立奇点.,都是奇点.,不是函数 的孤立奇点, 因为,【定义】：,3,则f (z)可以展开为Laurent级数,其中,根据Laurent级数展开式的系数 cn的不同情况,可以把 f (z)的孤 立奇点进行分为类如下：,若z0 是 f (z)的孤立奇点，此时f (z) 在圆环域,内解析, 根据Laurent级数展开定理，,4,1 孤立奇点分
2、类,【定义1】 如果f (z)在 内的Laurent,(2) 含有有限项 的负幂项, 即存在正整数m,使得, 则称z0是 f (z)的极点. m称为此极点的级数,即Z0是f的m级极点。,(3) 若含有无穷项 的负幂项，则称z0是 f (z)的本性奇点.,5,2 各类奇点的判别,由定义判别。这个前提是你能写出该点某去心领域内的洛朗级数形式。 (2)通过函数在孤立奇点处的极限判别。,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为 有限值,不存在 且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,含有有限个负幂项,最高负幂为,6,如果补充定义:,例1 因为 在 内的展开式为,无负幂项,
3、或者,则f (z)在全平面解析.,7,例2,注意：用极限不能判别出极点的级数,8,的Laurent展开式中含有,的有限负幂项.,在点 的某去心邻域内有,其中 在 的邻域内解析, 且,1. 由定义判别：,2. 由等价形式判别：,3. 由极限判别：,我们有三种方法来判别函数f (z)的奇点z0是否为极点：,3 极点(级数)的判别,9,因为,f (z)的3级极点.,【定理1】 设z0是f (z)的m级零点, 则z0是,的m级极点; (反之也成立),(零点与极点的关系),怎么判别一个函数的m级零点呢？,10,【推论1】设,z0是P(z)的m级零点,也是Q(z)的n级零点, 则当nm时, z0是f (z
4、)的n-m级,极点; 而当nm时, z0是f (z)的可去奇点.,显然, z=0是Q(z)的5级零点. 因为,所以, z=0是P(z)的2级零点. 故z=0是f (z)的3级极点 .,不是5 级极点,11,4.2 留数的一般理论,1 留数定义及留数基本定理,留数的计算3* 留数在实函数积分中的应用,12,1 留数定义及留数基本定理,.,级数为,在 内取分段光滑正向Jordan曲线C ,13,0,0,曲线C包含z0在其内部. 考虑积分,14,即,【定义1】 设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分,小邻域内包含z0在其内部的分段光滑曲线, 积分 ：,称为f (z)在z0点的留数(Resi
5、due), 记做,函数 f (z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以 z0 为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.,15,【定理2】 (留数基本定理) 设函数f (z)在区域D,内包含所有奇点在其内部的光滑正向曲线, 则 ：,根据留数基本定理, 函数 f (z) 在闭曲线C上的,积分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的,计算问题.,16,2 留数的计算,成Laurent级数, 求,17,证明 由于z0是 f (z)的1级极点，所以在z0的,某个去心邻域内的Laurent级数展开式为,故,所以,18,的1级极点, 并且,证明 由条件易知z0是f (z)的1级极点. 于是,19,2
6、0,证明 由于z0是 f (z)的m级极点，所以在z0的,某个去心邻域内的Laurent级数展开式为,因此,求出 C-1.,思考：这里的m-1还可以取大于等于m的所有值。Why?,21,的正向.,的1级极点，并且都在C的内部. 所以,根据 和 ,显然 是函数,22,例3 求 在z=0处的留数，并求,其中C是 的正向.,解 易见z=0是函数f (z)的本性奇点，并且,23,如果z0是f (z)的m级极点，有时在,中取,大于m-1来计算更为方便.,例4 求 在z=0处的留数.,根据,可知, z=0是f (z)的3级极点, 在,法则4.3中取n=5, 则,如果在法则4.3中取n=3, 那么计算就要麻
7、烦得多.,24,极点z=3在 的外部.,分别是f (z)的3级和1级极点, 都在 的内部. 而,是 的正向.,25,于是，根据留数基本定理,26,Karl Weierstrass,(1815.10.31-1897.2.19),德国数学家. 曾在波恩大学学,习法律, 1838年转学数学. 后来成,为中学教师, 不仅教数学、物理, 还教写作和体育,在这期间刻苦进行数学研究. 1856年到柏林大学任,教, 1864年成为教授.,Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位,大师, 他发现了处处不可微的连续函数, 与其他一些,数学家一起共同结束了分析学的混乱局面.,27,下一节课内容：Laplace变换 下次要交作业的是：学号最后一位数是奇数的。谢谢,
