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1、第四章 三角形,本 章 总 结 提 升,本章知识框架,本章总结提升,锐角,直角,钝角,本章总结提升,三,内,三,内,三,锐角,直角,钝角,本章总结提升,大于,小于,180,本章总结提升,相等,相等,相等,相等,SSS,SAS,ASA,AAS,整合拓展创新,本章总结提升, 类型之一 与三角形的边有关的计算与说理,例1 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( ) A5 B6 C11 D16,解析 C 已知三角形两边的长分别是4和10，所以第三边x的范围是6x14，在这个范围内，只有11符合故选C.,本章总结提升,点析 已知三角形的两条边长，求第三边，根据“三角形两边之和大于
2、第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，可得“三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和”，从而先求出第三边的范围，然后作出选择,本章总结提升,例2 王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的养兔圈，用于饲养家兔已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍多2米 (1)请用a表示第三条边长； (2)问第一条边长可以为8米吗？为什么？请说明理由； (3)能否使得围成的养兔圈是等腰三角形？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,点析本题以构成三角形三边关系为载体，主要考查了整式计算与三角形的有关边知识的理解与运用，在探究等腰三
3、角形的形状时要注意分类讨论，构建方程分析与解决实际问题,本章总结提升, 类型二 等腰三角形,例3 一个三角形的两条边相等，周长为18 cm，三角形一边长为4 cm，求其他两边长,解析 本题分两种情况：腰长为4 cm，底边长为4 cm.解答时要注意求出的边长要符合“三角形两边之和大于第三边”,本章总结提升,本章总结提升,点析等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确是底或腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论,本章总结提升, 类型三 与
4、三角形的角有关的计算,例4 如图4T1，一个大型模板的设计要求是模板的BA边和CD边相交成50角，DA边和CB边相交成30角，如果通过测量A，B，C，D的度数来判断模板是否合格，你认为当D与B的度数相差多少时，模板刚好合格？,图4T1,本章总结提升,解析 要判断D与B的度数相差多少时，模板刚好合格，可延长CD与BA，DA与CB，构造三角形，然后根据三角形内角和等于180进行探究,解：当模板合格时，如图4T1，延长BA交CD的延长线于点E，则E50；延长DA交CB的延长线于点F，则F30， 由三角形的三个内角和等于180，得 CBECE180，CDFCF180， 所以CBE180(EC)180(
5、50C)130C，,本章总结提升,CDF180(FC)180(30C)150C. 因为CDFCBE150C(130C)20， 所以CDF比CBE大20. 即D比B大20时，模板刚好合格,本章总结提升,点析三角形的内角和等于180，我们可以利用这一结论解决与角度计算有关的实际问题，解决问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题,本章总结提升, 类型四 三角形中的重要线段,例5 如图4T2，已知B45，C75，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，求DAE的度数,图4T2,本章总结提升,本章总结提升,本章总结提升,图4T3,答案 2,本章总结提升,本章总结提升,点析解决本题的关键是利用三角形的面
6、积关系，在高不变的情况下，底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积之间的关系，就是底之间的关系，注意数形结合及转换的数学思想方法,本章总结提升, 类型五 尺规作图,例7 已知：线段a，c和. 求作：ABC，使BCa，ABc，ABC.,图4T4,本章总结提升,解：如图4T5所示先画射线BC；,图4T5,本章总结提升,以的顶点为圆心，任意长为半径画孤，分别交的两边于A，C； 以相同长度为半径，B为圆心，画弧，交BC于点F，以F为圆心，CA长为半径画弧，交已画弧于点E，连接EB，则EBF； 在BF上取点C，使CBa，以B为圆心，c为半径画圆交BE的延长线于点A，连接AC.ABC即为所求作三角形
7、,本章总结提升, 类型六 全等三角形中的开放性问题,例8 如图4T6所示，AB，CD相交于点O，ABCD，试添加一个条件使得AODCOB，你添加的条件是_(只需写一个),图4T6,答案 OAOC或OBOD,本章总结提升,解析 两个三角形全等的条件有“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”结合题设中的已知，选择恰当的三角形全等条件是解决此类问题的关键已知条件有ABCD，隐含条件有AODCOB，可选择“SAS”，填OAOC或OBOD.,本章总结提升,点析全等三角形是初中数学中最基础、最重要的一部分内容，本题是添加条件写结论的全开放型的创新题，这种类型的题目开放程度非常高，能激起同学们的挑战欲
8、望和创新热情，实属好题,本章总结提升, 类型七 全等三角形的性质与判定的综合应用,例9 如图4T7，已知点B，F，C，E在一条直线上，FBCE，ACDF. 能否由上面的已知条件说明ABED？如果能，请给出说明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使ABED成立，并说明理由 供选择的三个条件(请从其中选择一个)： ABED；BCEF； ACBDFE.,本章总结提升,图4T7,本章总结提升,解析 由条件可知两三角形中具备了两边对应相等，可补充边借助“边边边”定理突破，也可补充这两边的夹角，借助“边角边”定理进行分析,解：由上面两条件不能说明ABED. 有两种添加方法
9、第一种：添加ABED. 理由：因为FBCE，所以BCEF.,本章总结提升,又ACDF，ABED， 所以ABCDEF. 所以BE， 所以ABED. 第二种：添加ACBDFE. 理由：因为FBCE， 所以BCEF.,本章总结提升,又ACBDFE，ACDF， 所以ABCDEF. 所以BE，所以ABED.,点析近几年的各地中考中，全等三角形常以开放探究的形式出现，可能设置的问题结论不唯一，或条件不完备，即需要解题者依据题意确定结论或补全条件，或通过变换操作，或有关图形的动态变化导致某些图形、情境的变化，进而构建不同的数学模型，或选择不同的解题策略进行解答,本章总结提升,例10 如图4T8，ABAE，B
10、E，BCED，F是CD的中点，则AFCD吗？试说明理由,图4T8,本章总结提升,解：连接AC，AD，由ABAE，BE，BCDE，根据“SAS”可知ABCAED， 根据全等三角形的对应边相等可知ACAD. 由ACAD，CFDF，AFAF(公共边)， 根据“SSS”可知ACFADF. 根据全等三角形的对应角相等可知AFCAFD. 又由于F在直线CD上，可得AFC90， 即AFCD.,本章总结提升,点析本题进行了两次三角形全等的证明，在证明线段、角等问题时往往转化为证明三角形全等，从而达到证明的目的,本章总结提升, 类型八 利用三角形全等测距离,例11 如图4T9所示，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BCCD，过D作DEAB，使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，请你说明道理,图4T9,本章总结提升,解析 因为DEAB，可得AE，ABCCDE.又因为BCCD，于是可得ABCEDC，可得ABDE.,解： DEAB(作图)， AE，ABCCDE(两直线平行，内错角相等) 又BCCD(已知)，ABCEDC(AAS)， ABDE(全等三角形的对应边相等),本章总结提升,点析测量无法到达的问题时，可以将实际问题转化为数学问题来解决，本题巧妙地利用了三角形全等进行转化，从而达到测量的目的,
