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1、11 11.21.2 弧度制弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式知识点一 角度制与弧度制思考 1 在初中学过的角度制中，1 度的角是如何规定的？答案 周角的等于 1 度1 360思考 2 在弧度制中，1 弧度的角是如何规定的，如何表示？答案 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度(radian)的角，用符号 rad 表示思考 3 “1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？答案 “1 弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是
2、一个定值，与所在圆的半径大小无关梳理 (1)角度制和弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等于周角的1 360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制(2)角的弧度数的计算2如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是| .l r知识点二 角度制与弧度制的换算思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？答案 利用 1 rad 和 1 rad进行弧度与角度的换算 180(180 )梳理 (1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 r
3、ad2 rad360180 rad rad1801 rad0.017_45 180rad1 rad57.30(180 )(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度0 180 6 4 3 22 33 45 63 22知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案 设扇形的半径为R，弧长为l，为其圆心角的弧度数，则：为度数为弧度数扇形的弧长lR 180lR扇形的面积SR2 360SlRR21 21 211 rad 的角和 1的角大小相等( )提示 1 rad 的角和 1的角大小不相等，1 rad. 1802用
4、弧度来表示的角都是正角( )提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数3 “1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关( )3提示 “1 弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关类型一 角度与弧度的互化例 1 将下列角度与弧度进行互化(1)20；(2)15；(3)；(4).7 1211 5考点 弧度制题点 角度与弧度的互化解 (1)20.20 180 9(2)15.15 180 12(3)180105.7 127 12(4)180396.11 511 5反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解把弧度转
5、化为角度时，直接用弧度数乘以即可(180 )跟踪训练 1 (1)把下列角度化成弧度：150_；2 100_；1115_；11230_.(2)把下列弧度化成角度：_；_； 65 3_；_.9 205 12考点 弧度制题点 角度与弧度的互化答案 (1) 5 635 3 165 8(2)30 300 81 75类型二 用弧度制表示终边相同的角例 2 把下列各角化成 2k(02，kZ Z)的形式，并指出是第几象限角4(1)1 500；(2)；(3)4.23 6考点 弧度制的应用题点 弧度制的应用解 (1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10，是第四象限角5 3(2)2，23
6、611 6与终边相同，是第四象限角23 611 6(3)42(24)，24. 24 与 24 终边相同，是第二象限角反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角 2k(kZ Z)时，其中 2k 是 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用跟踪训练 2 (1)把1 480写成2k(kZ Z)的形式，其中 02；(2)在0，720内找出与角终边相同的角2 5考点 弧度制的应用题点 弧度制的应用解 (1)1 4801 480， 18074 9而10，且 02，.74 916 916 91 4802(5).16 9(2)72，2 52 5(180 )终边与角相同的角为72k360(kZ Z)，2
7、 5当k0 时，72；当k1 时，432.在0，720内与角终边相同的角为 72，432.2 5类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例 3 (1)若扇形的中心角为 120，半径为，则此扇形的面积为( )3A B. C. D.5 4332 395(2)如果 2 弧度的圆心角所对的弦长为 4，那么这个圆心角所对的弧长为( )A2 B. C2sin 1 D.2 sin 14 sin 1考点 扇形的弧长与面积公式题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用答案 (1)A (2)D解析 (1)扇形的中心角为 120，半径为，2 33所以S扇形 |r2 ()2.1 21 22 33(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心
8、距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为 2，其所对的圆心角也为 2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2 sin 12.2 sin 14 sin 1反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是Slr |r2，二是1 21 2l|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个求解时应注意先把度化为弧度，再计算跟踪训练 3 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求圆心角的弧度数考点 扇形的弧长与面积公式题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用解 设扇形的半径为R，弧长为l，则 2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，1 2得 1 (42R)R，1 2R1，l2， 2，l R2
9、1即扇形的圆心角为 2 rad.1下列说法正确的是( )A1 弧度就是 1 度的圆心角所对的弧6B1 弧度是长度为半径的弧C1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和D1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小考点 弧度制题点 弧度制的定义答案 D解析 由弧度的定义可知 D 正确2把化为角度是( )8 5A270 B280 C288 D318考点 弧度制题点 角度与弧度的互化答案 C解析 288.8 58 5(180 )3若5，则角的终边在( )A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限考点 弧度制的应用题点 弧度制的应用答案 D解析 25 与5 的终边相同，25，(0， 2)25 是第一
10、象限角，则5 也是第一象限角4(2017浙江省 91 联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD的弧度数大小为_考点 扇形的弧长与面积公式题点 扇形的面积公式答案 2 2解析 设正方形的边长为a，EAD，7由已知可得a2 a2a2，2.1 41 2 25已知扇形AOB的圆心角为，半径长R为 6，求：2 3(1)弧AB的长；(2)扇形所含弓形的面积考点 扇形的弧长与面积公式题点 扇形的弧长与面积公式的综合应用解 (1)lR 64，2 3所以弧AB的长为 4.(2)S扇形OABlR 4612.1 21 2如图所示，过点O作O
11、DAB，交AB于点D， 120，2 3所以AOD60，DAO30，于是有SOAB ABOD1 2 26cos 3039.1 23所以弓形的面积为S扇形OABSOAB129.3所以弓形的面积是 129.31角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式易知：度数 rad弧度数，弧度数度数 180(180 )3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应
12、用时，要注意角的单位取弧度8一、选择题1下列说法中，错误的是( )A “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1的角是周角的，1 rad 的角是周角的1 3601 2C1 rad 的角比 1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关考点 弧度制题点 弧度制的定义答案 D解析 根据 1 度，1 弧度的定义可知只有 D 是错误的，故选 D.2240化为弧度是( )A B 4 35 3C D 7 47 6考点 弧度制题点 角度与弧度的互化答案 A解析 240240 . 1804 33(2017潍坊检测)圆的半径是 6 cm，则圆心角为 15的扇形面积是( )A. cm2 B. cm2
13、C cm2 D3 cm2 23 2考点 扇形的弧长与面积公式题点 扇形的面积公式答案 B解析 因为 15，所以l6(cm)， 12 12 2所以Slr 6(cm2)1 21 2 23 24设角2 弧度，则所在的象限为( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 弧度制的应用题点 弧度制的应用9答案 C解析 2， 22222， 2即 22 ，3 222 为第三象限角，为第三象限角5把 表示成2k(kZ Z)的形式，使|最小的值是( )11 4A B23 4C D考点 弧度制的应用题点 弧度制的应用答案 A解析 211 4(3 4)2(1)，(3 4) .3 46若扇形圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( ) 3A13 B23C43 D49考点 扇形的弧长与面积公式题点 扇形的面积公式答案 B解析 设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则Rrr2r3r.S内切圆r2.rsin 6S扇形R2 R2 9r2 r2.1 21 2 31 2 33 2S内切圆S扇形23.7.九章算术是我国古代数学的杰出代表作其中方田章给出计算弧田面积所用的经10验公式为：弧田面积 (弦矢矢2)弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”1 2指圆弧所对的弦长， “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径为 4 2 3m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田
