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1、物联网控制技术,自动化学院 2015年秋,第四章 线性系统的根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念4-2 根轨迹绘制的基本法则4-3 广义根轨迹,闭环系统的稳定性和动态性能,闭环极点的位置,求解特征方程（以得到极点） : 1. 对于高阶系统比较困难 2. 如果方程系数发生改变，需要重新求解（繁琐）,4-1 根轨迹法的基本概念,增益 K 的变化将引起闭环极点发生改变。适当选择 K 可以使得闭环极点处于期望的位置。因此首先需要知道当增益 K 变化时，闭环极点是如何变化的。,如果增益 K 发生变化？,4-1 根轨迹法的基本概念,根轨迹法的思想: 根据控制系统开环传递函数与闭环函数的关系， 根据系统开环
2、传递函数的零，极点分布， 用图解法，寻求系统的闭环极点。根轨迹法的优势: 1. 避免了烦琐的求根计算。 2. 能明显看出系统参数变化对闭环极点分布的影响。,4-1 根轨迹法的基本概念,例 已知系统开环传递函数，讨论0K变化时闭环极点的分布情况,特征方程为：,特征根为：,当K从0变化，闭环极点如何变化：,K=0 s1=0 s2=-40 K 1 s1 s2为不等的负实根K=1 s1=-2 s2=-21 K 0时稳定.,(2)动态性能: 根轨迹与动态性能之间有密切关系。 k1 欠阻尼.,4-1 根轨迹法的基本概念,一、根轨迹的概念 根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动
3、的轨迹。 其中,“根” 指的是闭环特征根(闭环极点)。,由前述分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。,根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。即，通过一些绘制法则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。,11,闭环传递函数与开环传递函数,前向通路传函:,闭环传函:,反馈通路传函:,开环传函:,将G(s) 和H(s) 写为零极点的形式:,开环传函:,闭环传函:,将G(s) 和H(s) 写为零极点的形式:,可见：闭环极点与开环零点、极点以及根轨迹增益有关。,根轨迹法
4、是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。,二、 根轨迹方程 绘制根轨迹，实质上就是求闭环特征方程的根。特征方程也可以写为,（其中K*从0 到无穷大变化）,首“1”,假设开环传递函数中有m 个零点和n个极点，则根轨迹方程可表示为（矢量方程）：,（即为根轨迹方程）,满足根轨迹方程的根，必然是闭环极点（闭环特征根），因此必定是根轨迹上的点。,模值方程：,相角方程:,由于G(s)H(s)为复变量s的函数，所以根轨迹方程的另一种表示方法:,表示开环零点指向闭环极点的向量 与正实轴的夹角；,表示开环极点指向闭环极点的向量 与正实轴的夹角。,用相角方程确
5、定点s1是否在根轨迹上,z1 z2 p3 p2 p1,用模值方程求根轨迹上点s1对应的K*值,z1 z2 p3 p2 p1,模值方程：,一、绘制根轨迹的基本法则1.根轨迹的分支数，对称性和连续性 分支数=特征方程阶数； 根轨迹连续且对称于实轴（根的类型：实数、共轭复数）。,根轨迹方程:,4-2 常规根轨迹的绘制法则,2.根轨迹的起点和终点 K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点， K* =时对应的根轨迹点称根轨迹的终点。,根轨迹起于开环极点，终于开环零点。 若开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终于无穷远处（无限零点）。,模值方程:,零点：z1,极点：p1、p2、p3、p4、p5,
6、测试点 s1 位于 p2，p3,每对共轭复极点的夹角总和为 360;,s1右边的所有零点、极点的夹角总和为 180;,？,3.实轴上的根轨迹 实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为奇数时，则该区域是根轨迹。,S1左边的所有零点、极点的夹角总和为 0;,考虑开环传递函数：,例,确定其在实轴上的根轨迹。,4.根轨迹的渐近线（s值很大时候的根轨迹，一定对称于实轴） 开环极点数n,开环零点数m,有n-m条根轨迹分支沿着渐近线趋于无穷远处。 nm时才有渐近线，渐近线的绘制方法：确定渐近线与实轴的交点坐标 a 和实轴正方向夹角 ，渐近线即可绘出。 （zi为已知的开环零点，pi为已知的开环极点）,24,3
7、极点：0、-1、-5,1 零点：-4,n-m = 3 -1 = 2,考虑开环传递函数：,确定根轨迹的渐近线。,例,5.根轨迹的分离点 分离点 :L条根轨迹分支在s平面上相遇后又立即分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点)，用d表示。 分离点d其实为K*为某特定值时，闭环特征方程的重根。 分离点计算公式：,若系统无开环零点，则,由于根轨迹是对称的，所以根轨迹的分离点或者出现在实轴上，或者共轭成对地出现在复平面中。以实数分离点最为常见。,例 已知系统开环传递函数，讨论0K变化时闭环极点的分布情况,特征方程为：,特征根为：,分离点,实轴上的分离点：1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点
8、之间至少存在一个分离点。2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限零点）。注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。,列分离点方程,整理得解得,显然d2不在根轨迹上，应舍弃。,开环传递函数：,d1,圆弧根轨迹法则: 仅由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，当k*从0到无穷变化时，闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆弧。 （有限零点位于两个实数极点之间的情况除外）,二阶系统,会合角:,L条相邻的根轨迹分支，进入分离点处切线的夹角称为会合角，用 表示, 则,分离角:,离开分离
9、点的根轨迹分支和相邻的进入分离点的根轨迹分支，在分离点处切线夹角称为分离角，用 表示, 则,31,开环传函G(s)H(s) 的零极点如图所示，画概略根轨迹.,法则3实轴上 -1,0 和-3,-2 区域为根轨迹。,法则 4根轨迹有两条渐近线(nm2),法则5实轴上有根轨迹分离点 (应在-3,-2区域内),例,32,法则 1、2、3 n=4,m=0根轨迹从开环极点 0,-4 and -2j4起始，终值于4个无限零点. 根轨迹有4条分支，对称于实轴。实轴上区域 -4,0 是根轨迹。,法则 4 根轨迹有4条渐近线。,例,33,法则 5求分离点,Example,试探法,先试探出实轴上的分离点：,再求其它
10、分离点：,6.根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点的情况) 起于开环复极点的根轨迹,在起点处的切线与正实轴的夹角, 称为根轨迹的起始角 。 终止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角 。,34,起始角与终止角,绘制T从零到无穷变化开环和闭环根轨迹。,解：,(s+5)2+52+Ts2(s+10)=0,闭环特征方程：,a,1,2,3,在a点附近的根轨迹上取一点b,b点一定满足相角方程,1+ 2+ 3 （,1,1+,起始角),= (2k+1),起始角=45o,起始角与终止角,绘制T从零到无穷变化开环和闭环根轨迹。,解：,(s+5)2+52+Ts2(s+10
11、)=0,闭环特征方程：,a,1,2,3,在a点附近的根轨迹上取一点b,b点一定满足相角方程,1,起始角=45o,1+ 2+ 3 （,1+,起始角),= (2k+1),6.根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点的情况) 起于开环复极点的根轨迹,在起点处的切线与正实轴的夹角, 称为根轨迹的起始角 。 终止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角 。,37,7.根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴相交，表明此时的闭环极点有纯虚根，系统临界稳定。,例,考虑开环传函：,求根轨迹与虚轴交点。,40,代入闭环特征方程,闭环特征方程:,8.根之和 时，闭环极点之和=开环极点
12、之和因此，当开环增益变化导致某些根向左移动时，另一部分根必定向右移动。该法则对判断根轨迹走向是很有用的。,绘制根轨迹的基本法则,1,2,根轨迹起始于开环极点，,终止于开环零点,4,5,L为来会合的根轨迹条数,n-m条渐近线对称于实轴,均起于实轴上的a 点,k= 0,1,2, ,根轨迹的会合与分离,根轨迹分支数,为开环极点个数,根轨迹对称实轴,6,起始角与终止角,7,8,根之和,3,实轴上某段右侧零极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹,例:已知单位反馈系统的开环传递函数为试绘制 K* 从0到时系统的根轨迹.,解:(1)有4个开环极点,P1=0,P2=-3,P3,4=-1j. n=4，没有开环零点,
13、m=0 ； 分支数=开环极点的个数=特征方程阶数 有4个根轨迹分支,（2）实轴上根轨迹为0,-3区间 ；（3）渐近线条数n-m=4条， 4个根轨迹分支沿着渐近线都趋于无穷远处 ；,渐近线与实轴正方向的夹角 ：,与实轴的交点：,(4)分离点坐标:,用试探法求得 d=-2.3,(5) 起始角,其中 m=0 n=4,会合角分离角,由根轨迹的对称性可知,(6)根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程为,令s=jw 代入实部和虚部都为0得:,47,-0.5,0.5,1,1.5,0,-1,-1.5,-2,-2.5,-3,根轨迹图:,二、闭环极点的确定 根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点。 特定K*值对应的闭环极点，可以用模值条件和闭环特征方程求。 较简便的方法： 对于特定K*值的闭环极点，对模值方程使用试探法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法根据闭环特征方程确定其余的闭环极点。,确定 K =4时的闭环极点.,例,单位反馈系统的开环传函,用模值方程确定闭环极点:,模值方程 :,4 开环极点，无开环零点,在 3，-2.3 与-2.3,0 区域, 采用试探法求K=4时的闭环极点.,因而 K=4时，有两个闭环极点位于分离点两侧的实轴上。,
