《【数学】浙江省余姚市中学2013-2014学年高二上学期期中考试（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】浙江省余姚市中学2013-2014学年高二上学期期中考试（理）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的）1 . 若R,则直线1sinxy的倾斜角的取值范围是（ ）A. 2, 0B. 4,4C. 43,4D. ,43 4, 02 . 已知向量)0 , 1 , 1 (a,)2 , 0 , 1(b,且bak与ba 2互相垂直，则k的值是 ( )A.1B.51C.57D.533已知点M是直线l：2xy40 与x轴的交点，过M点作直线l的垂线，得到的直线方程是( )Ax2y20 Bx2
2、y20 Cx2y20 Dx2y204. 某三棱锥的侧视图和俯视图如图-1 所示，则该三棱锥的体积为( )图-1 A4 B8 C12 D2433335. 下列命题中错误的是 ( )A. 如果平面平面，平面平面，l，那么lB. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D. 如果平面平面，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于6 . 已知cab2，则直线0cbyax与椭圆15622 yx的位置关系是 ( )A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能27已知l，m是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，给出下列条件，
3、能得到的是 ( )Al，l B， Cm，l，m，l Dl，m，lm 8已知CBA,是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足)221 21(31OCOBOAOP,则点P一定为三角形ABC的（ ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点9如图，21,FF是双曲线C：12222 by ax（0, 0ba）的左、右焦点，过1F的直线l与C的左、右两支分别交于BA,两点若5:4:3:22AFBFAB 则双曲线的离心率为 ( ) A A13 B B15 C C2 D D310单位正方体在一个平面内的投影面积的最大值和最小值分别为（ ）A.3,1
4、B.2,1 C. 4 2,13D.3 2,12二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2828 分）分）11 . 在正方体1111ABCDABC D中，NM,分别为棱AADB与的中点，则异面直线NM与1BD所成角的余弦值是 . 12 . 直线022yx经过椭圆12222 by ax(ab0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于 . 13 . 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为 . 14 . 已知点)4, 3(A，) 3 , 6(B到直线l：01 yax的距离相等，则实数a
5、的值等于 . 15已知直线l的方向向量是e，平面,的法向量分别是21,nn若a，且1ne ，2ne ，则l与a的关系是 16 .过双曲线G：12222 by ax)0, 0(ba的右顶点 A 作斜率为 1 的直线m，分别与xyOABF1F23两渐近线交于CB,两点，若ACAB2，则双曲线G的离心率为 . 17棱长为 2 的正四面体ABCD在空间直角坐标系中移动，但保持点BA,分别在x轴、y轴上移动，则原点O到直线CD的最近距离为_ _ 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 5 5 个小题，共个小题，共 7272 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明，证明过
6、程或演算步骤）18 .（本题满分 14 分）已知圆4)2(:22 yxM，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B 两点.（1）如果AB=22，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 19.（本题满分 14 分） 在如图的多面体中，EF平面 AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G 是 BC 的中点(1)求证：BDEG；(2)求二面角 CDFE 的余弦值20 . （本题满分 14 分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111CBAABC 中，侧面11ACCA底面ABC，601ACA（1）求侧棱1AA与平面CAB1所成角的正弦值的大小；（2） 已
7、知点D满足BCBABD，在直线1AA上是否存在点P，使CABDP1/平面？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由21. （本题满分 15 分）已知椭圆)0( 1:2222 baby axC的左顶点)0 , 2(A，过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3 （1）求椭圆C的方程；（2）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭（第 20 题）EAGCFDB4圆交于点P，求证：2OPARAQ 为定值22. （本题满分 15 分）如图，21,FF是离心率为22的椭圆)0( 1:2222 baby axC的左、右焦点，直线l：21x将线段21FF分成两段，其长度之比为3:
8、1设BA,是 C 上的两个动点，线段AB的中垂线与 C 交于QP,两点，线段 AB 的中点 M在直线上（1） 求椭圆C的方程； （2） 求QFPF22的取值范围 5余姚中学第一学期高二数学期中考试试卷（理科）三、解答题：三、解答题：19.(1)证明：EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB， EFAE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直 （2 分）以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 （4 分）由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)EG (2,2,0)，B
9、D (2,2,2)BD EG 22220.BD EG . （7 分）(2)由已知得EB (2,0,0)是平面EFDA的一个法向量设平面DCF的法向量为n(x，y，z)，xzEAGCFDBy6xzyOFD (0，1,2)，FC (2,1,0)，Error!即Error!令z1，得n(1,2,1) （10分）设二面角CDFE的大小为，则coscosn，EB .22 666二面角CDFE的余弦值为. （14 分）6620 . 解：（1)侧面11ACCA底面ABC，作ACOA1于点O，OA1平面ABC.又601ACAABC，且各棱长都相等，1AO，31 OBOA，ACBO . -（2 分）故以O为坐标
10、原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO ，则)0 , 1, 0( A，)0 , 0 , 3(B，)3, 0 , 0(1A，)0 , 1 , 0(C，)3, 1 , 0(1AA，)3, 2 , 3(1AB，)0 , 2 , 0(AC-（4 分）设平面CAB1的法向量为) 1 ,(yxn ，则 023231yACnyxABn解得) 1 , 0 , 1(n. -（6 分）由46223,cos11 1 nAAnAAnAA 而侧棱1AA与平面CAB1所成角，即是向量1AA与平面CAB1的法向量所成锐角的余角，侧棱1AA与平面CAB1所成角的正弦值的大小为46 -（8 分）(2)BCBABD，而3,
11、1,0 ,3,1,0 .BABC ( 2 3,0,0)BD 又)0 , 0 , 3(B，点D的坐标为)0 , 0 , 3(D -（10 分）7假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为), 0(zyP，), 3(zyDP CABDP1/平面，) 1 , 0 , 1(n为平面CAB1的法向量，由1APAA ，得0,331 yy -（12 分）又DP平面CAB1，故存在点P，使CABDP1/平面，其坐标为)3, 0 , 0(，即恰好为1A点 -（14 分）（2）由题意知，直线OPAQ,斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为)2( xky，直线OP的方程为kxy 可得)2 , 0(kR，则212kAR
12、 （8 分）设),(11yxA，),(22yxQ，联立方程组 134)2(22yxxky，消去y得：0121616)34(2222kxkxk，34162221kkxx，3412162221kkxx， 则341124)(1122212 212 212 kkxxxxkxxkAQ （11 分）设kxy 与椭圆交另一点为),(33yxM，),(44yxP，联立方程组813422yxkxy，消去y得012)34(22xk，341224kx，所以34121122 42 kkxkOP （13 分）故2)34121(34112122 2222 22 kkkkkOPARAQ所以2OPARAQ 等于定值2 -（15 分）22. 解：（1）设 F2（c，0） ，则= ，所以 c=1因为离心率 e=，所以 a=，所以 b=1所以椭圆 C 的方程为 -（6 分）（2）当直线 AB 垂直于 x 轴时，直线 AB 方程为 x= ，此时 P（，0） 、Q（，0） ， -（8 分）当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB
