《【数学】江西省2013-2014学年高二下学期期中考试（理）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】江西省2013-2014学年高二下学期期中考试（理）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1江西省吉安一中 2013-2014 学年下学期高二期中考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 10 小题，满分 50 分）1. 若复数 z 满足(1)3izi，则z （ ）A. 44iB. 24iC. 22iD. 12i2. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（ ）A. 假设三内角都不大于 60 度B. 假设三内角都大于 60 度C. 假设三内角至多有一个大于 60 度D. 假设三内角至多有两个大于 60 度3. 一物体的运动方程为225stt，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 4 秒末的瞬时速度是（ ）A. 8 米/秒B. 7
2、米/秒C. 6 米/秒D. 5 米/秒4. 已知随机变量2(0,)XN且( 20)0.3PX ，则(2)P X （ ）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.45. 二项式3033aa的展开式的常数项为第（ ）项A. 17B. 18C. 19D. 206. 把一枚硬币连续抛掷两次，事件 A“第一次出现正面” ，事件 B“第二次出现正面”，则(|)P B A等于（ ）A. 1 2B. 1 4C. 1 6D. 1 87. 函数( )yf x的图象如图所示，若 0( )f x dxm，则20( )f x dx等于（ ）A. mB. 2mC. 0D. m28. 若函数( )f x在 R 上可导，
3、且2( )2(2)3f xxfx，则（ ） A. (0)(6)ffB. (0)(6)ffC. (0)(6)ffD. 无法确定9. 某类种子每粒发芽的概率是 90%，现播种该种子 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望与方差分别是（ ）A. 100 90B. 100 180 C. 200 180D. 200 36010. 对于任意正整数 n，定义“!n”如下：当 n 是偶数时，!(2) (4)6 4 2nnnn ，当 n 是奇数时，!(2) (4)5 3 1nnnn 现在有如下四个命题：(2003!) (2002!)2003 20023
4、2 1 ；10012002!21001 10003 2 1 ；2002!的个位数是 0；2003!的个位数是 5。其中正确的命题有（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个二、填空题（本大题共 5 小题，满分 25 分）11. 直线yxb是曲线lnyx的一条切线，则实数b _。12. 从22211 ,2343 ,345675 中，得出的一般性结论是_。13. 已知, x y的取值如下表所示：x0134 y2.24.34.86.7若 y 与 x 线性相关，且0.95yxa，则 a 的值为_。14. 由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字且 1，3 不相邻的六位偶数的个数是_。1
5、5. 关于 x 的方程3230xxa有三个不同的实数解，则 a 的取值范围是_。三、解答题（本大题共 6 小题，满分 75 分）16. （本小题满分 12 分）一汽车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月产量如表（单位：辆）：3轿车 A轿车 B轿车 C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆。（1）求 z 的值；（2）用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本。将该样本看成一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率。17. （本小题满分 12
6、 分）已知( )(23)nf xx展开式的二项式系数和为 512，且2 012(23)(1)(1)(1)nn nxaa xa xax。（1）求2a的值；（2）求123naaaa的值。18. （本小题满分 12 分）已知( )yf x是二次函数，方程( )0f x 有两个相等的实数根，且( )22fxx。（1）求( )yf x的表达式；（2）若直线(01)xtt 把( )yf x的图象与两坐标轴围成的图形面积二等分，求 t 的值。19. （本小题满分 12 分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B
7、 袋中。已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是1 2。（1）求小球落入 A 袋中的概率 P（A） ；（2）在容器入口处依次放入 4 个小球，记 X 为落入 A 袋中小球的个数，试求 X3 的概率和 X 的数学期望 EX。20. （本小题满分 13 分）4在数列na中，11 3a ，且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的21n倍（*nN） 。（1）写出此数列的前 5 项；（2）归纳猜想na的通项公式，并用数学归纳法证明。21. （本小题满分 14 分）已知函数1( )ln1(), ( )xf xaxxaR g xxe。（1）求函数( )g x在区间(0, e上的值域；（2）是否
8、存在实数 a，对任意给定的0(0, xe，在区间1, e上都存在两个不同的(1,2)ix i ，使得0( )()if xg x成立。若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。5三、解答题16. （本小题满分 12 分）解：（1）设该厂本月生产轿车为 n 辆，由题意得，5010,2000100300nn3 分所以2000 100300 150450600400z 6 分（2）设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车，因用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本，所以400 10005m，解得2m ，也即抽取了 2 辆舒适型轿车，3 辆标准型轿车8 分所以从中任取 2 辆，至少有
9、 1 辆舒适型轿车的概率为2 3 2 537111010C C 12 分17. （本小题满分 12 分）解：（1）由二项式系数和为 512 知，9251229nn2 分99(23)2(1) 1xx 所以728 292 ( 1)144aC6 分（2）令9 01,(2 1 3)1xa 令2x ，得9 01239(2 23)1aaaaa 所以1239012390()2aaaaaaaaaa12 分18. （本小题满分 12 分）解：（1）设2( )(0)f xaxbxc a，则( )2fxaxb，又已知( )22fxx，所以1,2ab，所以2( )2f xxxc，又方程( )0f x 有两个相等的实数
10、根，所以440,1cc ，故2( )21f xxx6 分（2）2320 1111(21)()33tSxxdxxxx8 分6依题意，有232 111111(21),()2336ttxxdxxxx ，1 332(1)1,12tt 12 分19. （本小题满分 12 分）解析：（1）331113( )( )( ), ( )1( )2244P BP AP B 6 分（2）由题意，3(4, )4XB，所以有331 431273(3)( ) ( )4344644P XCEX12 分20. （本小题满分 13 分）解：（1）由已知123 11,(21)3n naaaaanan，分别取2,3,4,5n ，得2
11、1312111111,()53 515145 735aaaaa，412351234111111(),()277 963449 1199aaaaaaaaa；所以数列的前 5 项是：1234511111,35356399aaaaa；6 分（2）由（1）中的分析可以猜想*1()(21)(21)nanNnn。8 分下面用数学归纳法证明：当1n 时，猜想显然成立。9 分假设当*(1)nk kkN且时猜想成立，即1 (21)(21)kakk。10 分那么由已知，得1231 1(21)1kk kaaaaakak ，即2 1231(23 )kkaaaakk a。所以22 1(21)(23 )kkkakk a，
12、即2 1(21)(23)kkkaka，又由归纳假设，得(21)k 11(23)(21)(21)kkakk，所以11 (21)(23)kakk，即当1nk时，猜想也成立。7综上和知，对一切*nN，都有1 (21)(21)nann成立。13 分21. （本小题满分 14 分）解：（1）111( )(1),( )xxxg xexeexg x在区间(0,1上单调递增，在区间1, ) e上单调递减，且2(0)0, (1)1( )0,( )eggg eeg x 的值域为(0,16 分（2）令( )mg x，则由（1）可得(0,1m，原问题等价于：对任意的(0,1m( )f xm在1, e上总有两个不同的实根，故( )f x在1, e不可能是单调函数。7 分1( )(1)fxaxex，其中11 ,1xe当1ae时，( )0,( )fxf x在区间1, e上单调递减，不合题意8 分当1a 时，( )0,( )fxf x在区间1, e上单调递增，不合题意10 分当11ea，即11ae时，( )f x在区间11,a上单调递减；( )f x在区间1, ea上单调递增，由上可得1( ,1)ae，此时必有min( )0f x且max( )1f x12 分而上min1( )( )2ln0f xfaa可得211aee，则a，综上，满足条件的 a 不存在。14 分
