控制工程基础第三章___时域分析法

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1、 第三章 时域分析 法测控技术与仪器系 黄安贻 027-15927074493 方法的实质直接解系统的运动微分方程式时间域的 微分方程拉氏变换复数域的 代数方程复域解时域解拉氏反变换瞬态解 自由解 瞬态响应稳态解 强迫解 稳态响应时域 问题变换 方法复域 问题控制系统的时域分析就是在时间域内，直接求 解描述系统性能的运动微分方程或动态方程，它们 的解就是系统的输出响应，亦称为时间响应。 3.1 控制系统的时间响 应 控制工程主要研究系统的零状态响应。 一 零状态响应和零输入响应控制系统的时间响应零状态响应零输入响应仅有激励而初始 状态为零的响应仅有初始状态而激 励为零时的响应若将系统的初始状态

2、看成系统的另一种输人激励， 则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应 必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。系统的零状态 响应等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在 s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称 为自然响应模式； 第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位 置，即输入信号的性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。零状态响应为：设系统输入为：设系统传递函数为：若函数中不含有多重极 点，可展成部分分式:取拉氏反变换，得到零状态响应:零状态响应的模式由 系统G（s）和输入u（s）

3、 的极点共同确定。瞬态响应和稳态响 应若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点， 仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就 是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应。根据微分方程理论，系统的强迫响应的函数结构与微分方程 的右函数（自变量）结构相同，即与输入信号结构相同。二 瞬态响应和稳态响应系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随 着时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳 态响应。瞬态响应与G(s)和u(s)都有关系。当G(s)和u(s)的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于 自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。系统的时间 响应3.2 控制系统时间

4、响应的 求解一 基于传递函数的输出响应求解实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程 求系统的零状态响应，可按下列步骤进行： (1) 设初始条件为零，对高阶微分方程进行拉氏变换； (2)求解关于s的代数方程，得输出响应的拉氏变换Y(s)； (3) 对y(s)进行部分分式展开； (4) 取反变换后，得到y(t)。例1 已知系统的传递函数，输人为单位阶跃函数，初始条件均为 零。求系统的输出响应。解：根据传递函数定义有：阶跃输入的拉氏变换为：部分分式展开：基于传递函数的输出响应 求解待定系数的求法：用 乘上式两边，取spi的极限。 注意：注意：系统传递函数的两个极点在指数上。第一项是稳态响应，是阶

5、跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加 将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。 结论：结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。 取反变换后，得到y(t)系统的零点对响应的影 响可见，尽管这两个系统的极点 相同，但由于零点不同，它们的 响应截然不同，系统1有超调。例2已知两个系统的传递函数单位阶跃响应分别为系统的零点影响系 统响应曲线的形状。结论3.3 控制系统动态性能 分析 控制系统必须具有良好的动态特性， 从而使系统能迅速跟踪参考输入信号，并 且不产生剧烈的振荡。因此，对系统动态 性能进行分析，改善瞬态响应是自动控制 的核心工作。 为了衡量系统的动态性能，同时

6、能对 不同系统的性能进行比较，通常采用单位 阶跃函数作为测试信号。相应地，系统的 响应称为单位阶跃响应。任何复杂系统都是由简单的一阶、二阶系统组成任何复杂信号都是由简单信号叠加而成的傅立叶级数线性稳定系统响应输入的微分(积分)响应的微分(积分)输入脉冲函数阶跃函数加速度函数速度函数积 分积 分微 分一 低阶系统的阶跃响应 分析（一） 一阶系统的阶跃 响应举例特点：有一个蓄能元件，含时间常数， 具有惯性，输出滞后输入 。 响应分析：时间常数一阶系统的脉冲 响应因为单位脉冲函数的拉氏变换为1，所以记系统的单位脉冲响应函数为g（t），那么00-0.0180.0184T-0.1350.1352T- 0

7、.3680.368T0t一阶系统时域指标 ：一阶系统对单位阶跃 输入的响应达到稳态值的 98%所对应的时间为系统 的过渡过程时间，为4T 。一阶系统对单位脉冲 输入的响应达到初始值的 2%所对应的时间为系统 的过渡过程时间，为4T 。(二) 二阶系统的阶跃 响应二阶系统结构如图二阶系统闭 环传递函数为 注意典型环节与系统 的联系与区别二阶系统开环传递函数为 1. 1. 二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数2. 二阶系统闭环极点的 分布根据系统阻尼比的值，二阶系统有：由图可知3. 二阶系统的响应曲 线系统在s左半平面上有一对共轭复数极点 欠阻尼系统欠阻尼系统的瞬态响 应是正弦衰减振荡，衰 减的快

8、慢与系统极点的 负实部有关，距虚轴越 远，衰减越快；振荡频 率取决于极点的虚部。 阻尼比影响振荡的程度 。 注意极点的负实部在指数上，虚部是振荡频率。3. 二阶系统的响应曲线 无阻尼系统有一对共轭虚极点， 响应是等幅振荡曲线临界阻尼系统过阻尼系统两个相同的负实数极点，两个相同的惯性环节的串联有两个负实数极点单调上升曲线单调上升但不会超过稳态值，响应是非振荡的。两个极点中 离s平面原点较远的极点对应的瞬态分量幅值较小，衰减较快 。 随着阻尼比的增大，其中一个极点将越来越远离s平面原 点，其幅值越来越小，衰减越来越快；而另一个极点越 来越靠近原点，其幅值越来越大，衰减越来越慢。当阻 尼比1时，式右

9、边最后一项可以忽略，二阶系统可以 用靠近原点的那个极点所表示的一阶系统来近似分析。 4. 系统阶跃响应的特点 分析响应特性 与闭环极点 位置有关 响应的快慢与极点 距离虚轴的远近有关 阻尼比 和无阻尼自 然频率n 确定了系统 动态特性 闭环极点具有负实部，时间趋向无穷大时， 瞬态响应趋于零，系统稳定。 极点距离虚轴近，对应的响应模 式衰减慢；距离越远衰减越快。阻尼比确定了系统响应振荡特性响应平稳性。 越小，响应振荡越剧烈；越大，响应越缓慢呆滞。 无阻尼自然频率 n 确定了系统瞬态响应过程时间的 长短响应快速性。n越小，即时间常数T越大，响 应就慢，反之，n越大，即时间常数T越小，响应就 越快。

10、响应快速性与响应平稳性是相互矛盾的。 共轭复数极点：衰减正弦振荡曲线，系统稳定。 负实数极点：响应是单调上升曲线，系统稳定。 共轭虚极点：等幅振荡曲线，系统临界稳定。 二 高阶系统的时域 响应 不失一般性， 高阶系统的闭环传 递函数可表示为： 当输入为 阶跃函数时， 输出可表示为 ：通过拉氏 反变换，输出 响应可表示为 ：1.闭环主导极 点当某极点（一对共轭极点）离虚轴很 近，其余极点实部之模大于该极点（该对 共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极 点对应的响应持续时间很短，系统输出响 应可以近似地视为该极点（该对共轭极点 ）所产生，其余极点对应的响应可以忽略 不计。该极点（该对共轭极点）称为

11、系统 的闭环主导极点。据此，假如闭环主导极 点附近没有闭环零点时，可以消去其他远 极点而实现对系统的降阶。须注意保持系 统稳态增益不变。2.偶 极子假如某极点 与某零点 很近，那 么由该极点产生的响应的 将很小，因 而该响应分量在全部响应中所占的“比重”也 必然很小，可以忽略不计。这对零点和极点 称为偶极子。高阶系统降阶时可以同时取消 偶极子，但须注意保持系统稳态增益不变。3. 高阶系统降阶举 例已知系统的 闭环传递函数为 ：四个闭环极点为：单个闭环零点为 ：消去偶极子和远极点后得到：三 用Matlab求系统 响应 步骤1：启动Matlab步骤2：设置工作文件路径步骤3：打开文件编辑窗口，输入

12、、编辑文件并存盘 。 下图示例中传递函数为 ：步骤4：运行文件，显示结果。例 2降阶前后阶跃 响应对比。四 控制系统时域动态性能 指标最大超调量:相对稳定性,响应平稳性,阻尼程度时间指标：响应的快速性。注意：响 应的平稳性与快速性是相互矛盾的。1.时域动态性能指标概念与定义 (1)线性 控制 系统 典型 的单 位阶 跃响 应曲 线延迟时间td：系统阶跃响应达到稳态值50%所需的时间。 上升时间tr：系统阶跃响应从稳态值的10%第一次达到稳态 值的90%所需的时间。1.时域动态性能指标概念与定义 (2)峰值时间tp：响应曲线第一次到达最大峰值所需时间 。调节时间ts：系统阶跃响应曲线进入并保持在

13、稳态值 %允许误差范围内的最小时间。%取稳态值的2%或 5%，根据系统所完成的任务而定。调节时间又称调整时 间、过渡过程时间。超调量：又称最大超调量， 反映系统响应振荡的剧烈程度。振荡次数N：在调节时间ts内，响应曲线振荡的次数。在上述指标中，调节时间和超调量反映了对系统动态 性能最重要的要求：响应快速性和相对稳定性。2.欠阻尼二阶系统时域性能指标 计算只有二阶系统可以推导出上述性能指标的解析 式，其他系统只能从响应曲线、仿真结果中获取相 应指标数值。延迟时间、上升时间、峰值时间和调节时间都 是系统无阻尼自然频率和阻尼比的函数，当阻尼比 给定时，系统自然频率越高，这些时间指标越短， 系统响应越

14、快。超调量仅仅是阻尼比的函数。 学生思考的问题：综合性能指标；高阶系统 的降阶处理；速度反馈的作用；传递函数零点 的影响；系统对输入信号的微分（积分）的响应 ，等于系统对输入信号响应的微分（积分）。自然响应模式的概 念若输出函数 中不含有多重极点，可展成部分分式:取拉氏反变换，得到零状态响应:零状态响应的模式由系统G(s)和输入R(s)的极点共同确定。式 中，等号右边的第一项和式是系统的自然响应，其变化规律只取 决于系统函数G(s)的极点在S平面的位置，体现了系统本身的特 点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自然响应模式， 亦称为主振型、主模态；第二项和式是系统的强迫响应，其变化 规律只

15、取决于输入激励R(s)的极点在S平面的位置。但是待定系 数Ck（留数）与G(s）和R(s）的零点、极点分布都有关系。自然响应模式的概念 单重实数极点p 单重共轭复数极点j r重实数极点p r重共轭复数极点j 自然响应模式的概 念当G(s)的极点与R(s)的零点或G(s)的零点和R(s)的极点相 消时，就会使G(s)的极点所对应的自然响应模式或R(s)的极 点所对应的强迫响应模式消失。若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，一般 它相当于脉冲信号，可以证明零输入响应(自然响应)的模式 由D(s)0的根确定，它的幅度和相位则与初始状态有关。这 里D(s)=0称为系统的特征方程，其根称为特征根或系统的固 有频率。可以说零输入响应的模式由系统的固有频率确定。如果G(s)没有零、极点相消，则特征方程D(s)=0的根也 就是G(s)的极点，则零输入响应的模式由G(s)的极点确定。 但是，当G(s)有零极点相消时，系统的某些固有频率在G(s) 的极点中将不再出现，这时零输入响应的模式不再由G(s)的 极点确定，但G(s)的零极点是否相消，并不影响零状态响应 的模式。这一现象说明，系统传递函数G(s)一般只用于研究 系统的零状态响应。学习中应思考的 问题 综合性能指标高阶系统的降阶处理速度反馈的作用传递函数零点的影响系统对输入信号的微分（积分）的响