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1、牡丹江市第一高级中学 2016 届高三上学期期末考试数学（理）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只 有一项是符合题目要求的）1.全集UR，集合2 |230Mx xx,N 2|31y yx,则UMC N( )A.11|xx B.11|xx C.31| xx D.31| xx2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( ) 3.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是( )A.计算数列 12n前5项的和 B.计算数列21n前5项的和C.计算数列 12n前6项的和 D.计算数列21n前6项的和4.若, x y满足20200xy
2、kxyy 且zyx的最小值为2，则k的值为A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5.给出下列四个命题, 其中正确的命题有( )个. (1)函数 2, 02cos2sinxxxy在上的单调递增区间是 8, 0;(2)1212,a a b b均为非零实数，集合11220,0Ax a xbBx a xb，则“1122ab ab”是“AB”的必要不充分条件(3)若pq为真命题,则pq也为真命题(4)命题01,2xxRx的否定01,2xxRxA. 0 B. 1 C. 2 D. 36.设12,.,na aa是1，2，3.n的一个排列，把排在ia的左边且比ia小的数的个数称为ia(i 1，2，.n)的
3、顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1， 3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )2A. 48 B. 120 C. 144 D. 1927.在平行四边形ABCD中，2AD，60BAD，E为CD的中点若1AD BE ，则AB的长为( )A. 6 B. 4 C. 5 D. 68.已知等差数列na的前n项和为nS，又知( ln )ln1xxx，且101lneSxdx，2017S，则30S为( ) A. 33 B. 46 C.48 D.509已知函数)0(cossin3)(xxxf的图象与x轴交点的横坐标构成一
4、个公差为2的等差数列，把函数)(xf的图象沿x轴向右平移6个单位，得到函数)(xg的图象若在区间0,上随机取一个数x，则事件“1)(xg”发生的概率为（ ）A.41B.31C.61D.3210.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( ) A. B.2 C.3 D. 411.已知过双曲线2222:1(0,0)xyCabab的中心的直线交双曲线于点,A B，在双曲线C上任取与点,A B不重合的点P，记直线,PA PB AB的斜率分别为12,k k k，若12k kk恒成立，则离心率e的取值范围为( )A.12eB.12eC.2e D.2e 12.已知函数1ln1)(
5、xxxf,*)()(Nkxkxg，若对任意的1c ,存在实数ba,满足0abc，使得)()()(bgafcf，则k的最大值为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13.在62()2x x的二项展开式中，2x的系数为_.14.连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ia，若存在正整数k，使312.6kaaa，则称k为你的幸运数字。则你的幸运数字为3的概率_.15.如图所示点F是抛物线xy82的焦点，点A，B分别在抛物线xy82及圆22216xy的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是_.16在下列命题中,
6、正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）.函数)0()(xxaxxf的最小值为a2；已知定义在R上周期为4的函数( )f x满足(2)(2)fxfx，则( )f x一定为偶函数；定义在R上的函数( )f x既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则(1)(4)(7)0fff已知函数32( )(0)f xaxbxcxd a，则0abc是( )f x有极值的必要不充分条件；已知函数( )sinf xxx，若0ab，则( )( )0f af b.三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知 33cos22sin()sin(),x2f xxxxR (1)最
7、小正周期及对称轴方程；(2)已知锐角ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,且 3fA ,3a ,求BC边上的高的最大值.18.在三棱柱111ABCABC中，侧面11ABB A为矩形，2AB ，12 2AA ，D是1AA的中点，BD与1AB交于点O，且CO 平面11ABB A.4(1)证明：1BCAB；(2)若OCOA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.19已知数列 na满足1213,44aa， 112(2,)nnnaaannN，数列 nb满足：10b ，13nnbbn(2,)nnN，数列 nb的前n项和为nS.(1)求证：数列nnba为等比数列；(2)求证：数列 nb为
8、递增数列；(3)若当且仅当3n 时，nS取得最小值，求1b的取值范围20已知直线:6l yx，圆22:4O xy，椭圆2222:1xyEab(0)ab的离心率3 2e ，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)已知动直线1l(斜率存在)与椭圆E交于,P Q两个不同点，且OPQ的面积为1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点,A B使得直线NA与NB的斜率之积为定值？若存在，求出,A B的坐标，若不存在，说明理由521已知函数 xaxxf ln有且只有一个零点，其中0a . (1)求a的值；(2 )若对任意的, 0x，有 2kxxf成立，求实数 k 的最
9、大值；(3)设 xxfxh，对任意2121, 1,xxxx，证明：不等式 12121 2121xxxxxhxhxx恒成立.22选修4 1：几何证明选讲如图，点C是O直径BE的延长线上一点，AC是O的切线，A为切点，ACB的 平分线CD与AB相交于点D与AE相交于点.F (1)求ADF的值；(2)若,ACAB 求BCAC的值. FEOABCD23选修44：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()42圆O的参数方程为2cos2 2sin2xryr ，(为参数，0r ).（1）求圆心的一个极坐标；（2）当r为何值时，圆O上的点到
10、直线l的最大距离为3624选修45：不等式选讲.已知函数 26f xxxm的定义域为R（1）求实数m的取值范围；（2）若实数m的最大值为n，正数, a b满足82 32nabab，求43ab的最小值7参考答案选择123456789101112答案ADCBCCDCBCDB填空13141516答案3 85 108(8,12)三、解答题17、(1)整理得( )2sin(2)3f xx ， 2分T，对称轴方程为：5()212kxkZ 6分(2)( )3f A 3A ，11sin223ahABAC 3 6hABAC，由余弦定理及基本不等式可知9ABAC，3 3 2h 此时3ABAC.12分18、解：(1
11、)由题意2tan2ADABDAB，1 12tan2ABAB BBB，又0ABD ，12AB B，1ABDAB B ，1112AB BBABABDBAB ，2AOB，1ABBD.又11COABB A 平面，1ABCO，BD与CO交于点O，1ABCBD 平面，又BCCBD 平面，1ABBC.68分(2)如图，分别以1,OD OB OC所在直线为, ,x y z轴，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则2 32 6(0,0),(,0,0)33AB，2 36(0,0,),(,0,0)33CD,2 6 2 32 3 2 362 3(,0),(0,),(,0,)333333ABACCD
12、，设平面ABC的法向量为( , , )nx y z， 则00n ABn AC ，即2 62 3033 2 32 3033xyyx ，令1y ，则1z ，2 2x ，所以2(,1, 1)2n .设直线CD与平面ABC所成角为，则：62 32(,0,) (,1, 1)332sincos,| |1022CD nCD nCDn 622 30() ( 1)15323 55 所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为15 5.12 分19、解：（1）112nnnaaa na是等差数列412 21) 1(41nnan2 分), 2(331* 1Nnnnbbnn9)412(31 1212 31 412 31 3111nbnbnnbabnnnnn)(31 nnab 又111104bab，nnba是11 4b 为首项，以1 3为公比的等比数列5412)31()41(1 1nbbn n 2 11)31)(41(32 21,2 n nnbbbn时 10b ， 01nnbb nb是单调递增数列 8 分（2）由题意可知 0043 bb， 2 13 1511()( )0443 711()( )0443bb ，)11,47(1b12 分20、(1)设椭圆半焦距为 c，圆心 O 到 l 的距离 d，则 l 被圆 O 截得的弦长为61132，所以 b1，由题意得 e，b1，a24，b21.32椭圆 E 的方程为1.
